Resolva o problema de valor inicial abaixo:
$
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+2 x=0 ; x(\pi)=0 ; x^{\prime(\pi)}=-7
$

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x'' + 2x' + 2x = 0
com condições iniciais dadas em t=pi:
x(pi)=0, x'(pi)=-7
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem; vamos usar a equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo x(t)=e^rt:
r^2 + 2r + 2 = 0
As raízes são
r = -1 pm i
Logo a solução geral é da forma
x(t) = e^-tl(Ccos t + Dsin tr),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada de x(t):
x'(t) = ddtl[e^-t(Ccos t + Dsin t)r] = e^-tl[(D-C)cos t - (C+D)sin tr]

Passo 4

Impondo as condições em t=pi:
De x(pi)=0 segue
x(pi)=e^-pil(Ccospi + Dsinpir) = e^-pi(-C) = 0 ;Longrightarrow; C=0
De x'(pi)=-7 segue
x'(pi) = e^-pil((D-0)cospi - (0+D)sinpir) = e^-pi(-D) = -7 ;Longrightarrow; D = 7e^pi

Passo 5

Substituindo C=0 e D=7e^pi na solução geral, obtemos
x(t) = e^-tl(0cdotcos t + 7e^pisin tr) = 7,e^pi-t,sin t

Resposta

x(t) = 7,e^pi - t,sin t

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