Resolva o problema de valor inicial abaixo:
$
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+2 x=0 ; x(\pi)=0 ; x^{\prime(\pi)}=-7
$
$
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+2 x=0 ; x(\pi)=0 ; x^{\prime(\pi)}=-7
$
Passo 1
O enunciado é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais dadas em
:
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem; vamos usar a equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo
:
As raízes são
Logo a solução geral é da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Passo 4
Impondo as condições em
:
De segue
De
De
segue
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos