Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):
Passo 1
O exercício pede pra gente achar o núcleo (kernel), a imagem (image), montar a matriz de F na base canônica de e checar se F é invertível.
Passo 2
Para encontrar o núcleo de , lembramos que . Aqui implica e , mas ficam livres. Logo
Passo 3
A imagem de é o conjunto dos vetores que aparecem como saída. Como , temos
Passo 4
Para montar a matriz de na base canônica, calculamos para cada vetor . Temos
Passo 5
Assim, a matriz de é
Passo 6
Como o posto de A é 2 (menor que 4), F não é injetora nem sobrejetora. Portanto não existe inversa para F.
Resposta
(\ker(F)={(0,0,z,w)\mid z,w\in\mathbb{R}},\quad\mathrm{Im}(F)={(x,y,0,0)\mid x,y\in\mathbb{R}},\A=1&0&0&00&1&0&00&0&0&00&0&0&0,\F não é invertível (posto 2 < 4)."}