Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O exercício pede pra gente achar o núcleo (kernel), a imagem (image), montar a matriz de F na base canônica de R^4 e checar se F é invertível.

Passo 2

Para encontrar o núcleo de F, lembramos que ker(F)=vinR^4:,F(v)=0. Aqui F(x,y,z,w)=(x,y,0,0)=0 implica x=0 e y=0, mas z,w ficam livres. Logo
ker(F)=(0,0,z,w)mid z,winR=span(0,0,1,0),,(0,0,0,1)

Passo 3

A imagem de F é o conjunto dos vetores que aparecem como saída. Como F(x,y,z,w)=(x,y,0,0), temos
Im(F)=(x,y,0,0)mid x,yinR=span(1,0,0,0),,(0,1,0,0)

Passo 4

Para montar a matriz de F na base canônica, calculamos F(ei) para cada vetor ei. Temos
F(e1)=F(1,0,0,0)=(1,0,0,0), F(e2)=(0,1,0,0), F(e3)=(0,0,0,0), F(e4)=(0,0,0,0)

Passo 5

Assim, a matriz de F é
A=1&0&0&00&1&0&00&0&0&00&0&0&0

Passo 6

Como o posto de A é 2 (menor que 4), F não é injetora nem sobrejetora. Portanto não existe inversa para F.

Resposta

(\ker(F)={(0,0,z,w)\mid z,w\in\mathbb{R}},\quad\mathrm{Im}(F)={(x,y,0,0)\mid x,y\in\mathbb{R}},\A= 1&0&0&00&1&0&00&0&0&00&0&0&0,\F não é invertível (posto 2 < 4)."}

Exercícios relacionados