QUESTÃO 2 (Valor 2,0 pontos): Para as séries a seguir considere as respectivas somas parciais, \left\{S_{n}\right\}, e escreva os quatro primeiros termos de cada uma.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}+1}{3^{k}+2}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}+1}{3^{k}+2}
e define as somas parciais
S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k,
onde a_k = \frac{2^k+1}{3^k+2}. Precisamos encontrar S_1, S_2, S_3 e S_4.

Passo 2

Para n=1, temos
a_1 = \frac{2^1+1}{3^1+2} = \frac{3}{5}.
Logo,
S_1 = a_1 = \frac{3}{5}.

Passo 3

Para n=2, calculamos
a_2 = \frac{2^2+1}{3^2+2} = \frac{5}{11}.
Assim,
S_2 = a_1 + a_2 = \frac{3}{5} + \frac{5}{11} = \frac{33}{55} + \frac{25}{55} = \frac{58}{55}.

Passo 4

Para n=3, temos
a_3 = \frac{2^3+1}{3^3+2} = \frac{9}{29}.
Portanto,
S_3 = S_2 + a_3 = \frac{58}{55} + \frac{9}{29} = \frac{58\cdot29 + 9\cdot55}{55\cdot29} = \frac{1682 + 495}{1595} = \frac{2177}{1595}.

Passo 5

Para n=4, obtemos
a_4 = \frac{2^4+1}{3^4+2} = \frac{17}{83}.
Logo,
S_4 = S_3 + a_4 = \frac{2177}{1595} + \frac{17}{83} = \frac{2177\cdot83 + 17\cdot1595}{1595\cdot83} = \frac{180691 + 27115}{132385} = \frac{207806}{132385}.

Resposta

S_1 = \frac{3}{5} S_2 = \frac{58}{55} S_3 = \frac{2177}{1595} S_4 = \frac{207806}{132385}

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