{ }^{\text {a }} Questão (Valor = 2,0 pontos) Resolva a equação não linear a seguir por um método iterativo à sua escotha, utilizando como critério de parada o erro máximo de 1 \% e apresentando seus cálculos com 5 algarismos significativos. Antes de refinar a posição da raiz, isole o intervalo de busca que a contém.
x^{2} \cdot e^{-x}-\operatorname{arctg}(x)+1=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação por um método iterativo, usando critério de parada de erro máximo de 1\% e apresentando os cálculos com 5 algarismos significativos. A equação é
x^{2} e^{-x}-\operatorname{arctg}(x)+1=0.
O que nos foi dado / pedido:
  • Função a zerar: f(x)=x^{2} e^{-x}-\operatorname{arctg}(x)+1.
  • Deve-se isolar um intervalo que contenha a raiz (ou seja, encontrar a<b tais que f(a)\cdot f(b)<0).
  • Deve-se aplicar um método iterativo à escolha, com critério de parada: erro máximo 1\%.
  • Apresentar os cálculos com 5 algarismos significativos.

Passo 2

Escolha do método e definição das ferramentas que vou usar.
  • Vou usar o método da bisseção (método robusto e elementar, adequado para quando se encontra um intervalo com mudança de sinal).
  • Definição: dada função f contínua em [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, a bisseção gera aproximações x_{k} sendo x_{k} o ponto médio do intervalo atual [a_{k},b_{k}]:
x_{k}=\frac{a_{k}+b_{k}}{2}.
  • Critério de seleção do subintervalo: calcula-se f(x_{k}). Se f(a_{k})\cdot f(x_{k})<0 então a raiz está em [a_{k},x_{k}]; caso contrário está em [x_{k},b_{k}].
  • Critério de parada que vou usar (pedido): erro relativo aproximado entre duas iterações consecutivas:
\text{erro}_{\text{rel}}\approx\left|\frac{x_{k}-x_{k-1}}{x_{k}}\right|\times100\%.
Para parar precisamos \text{erro}_{\text{rel}}\leq1\%.
  • Explicação rápida das funções que aparecem: \operatorname{arctg}(x) é a função arco-tangente (em radianos). e^{-x} é a exponencial.

Passo 3

Isolamento inicial da raiz (procuro um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0). Vou testar alguns pontos e calcular f(x). Apresento os valores com 5 algarismos significativos.
Calcular f(3):
e^{-3}\approx0,049787,\qquad 3^{2}e^{-3}=9\cdot0,049787\approx0,44808,
\operatorname{arctg}(3)\approx1,2490,
f(3)=0,44808-1,2490+1\approx0,19904.
Calcular f(4):
e^{-4}\approx0,018316,\qquad 4^{2}e^{-4}=16\cdot0,018316\approx0,29305,
\operatorname{arctg}(4)\approx1,3258,
f(4)=0,29305-1,3258+1\approx-0,03277.
Como f(3)\approx0,19904>0 e f(4)\approx-0,03277<0, há mudança de sinal em [3,4]. Portanto a raiz está isolada no intervalo
[3,4].

Passo 4

Aplicação do método da bisseção: iterações sucessivas (cada cálculo com 5 algarismos significativos). Vou anotar a, b, x=\dfrac{a+b}{2}, f(x) e decidir o próximo intervalo. Também calculo o erro relativo aproximado quando for possível.
Iteração 1: a_{1}=3,\; b_{1}=4.
x_{1}=\frac{3+4}{2}=3,5.
Calcular f(3,5):
e^{-3,5}\approx0,030197,\qquad 3{,}5^{2}e^{-3,5}=12{,}25\cdot0,030197\approx0,36992,
\operatorname{arctg}(3,5)\approx1,2925,
f(3,5)=0,36992-1,2925+1\approx0,077421.
Sinal: f(3)=+, f(3,5)=+ então a raiz está em [3,5,\,4]=[3{,}5,4] (fica à direita): novo intervalo [3,5,4] que escrevo como [3{,}5,4].
Iteração 2: a_{2}=3{,}5,\; b_{2}=4.
x_{2}=\frac{3{,}5+4}{2}=3{,}75.
Calcular f(3,75):
e^{-3,75}\approx0,023517,\qquad 3{,}75^{2}e^{-3,75}=14{,}0625\cdot0,023517\approx0,33072,
\operatorname{arctg}(3,75)\approx1,3098,
f(3,75)=0,33072-1,3098+1\approx0,020922.
Sinal positivo; raiz em [3{,}75,4].
Iteração 3: a_{3}=3{,}75,\; b_{3}=4.
x_{3}=\frac{3{,}75+4}{2}=3{,}875.
Calcular f(3,875):
e^{-3,875}\approx0,020754,\qquad 3{,}875^{2}e^{-3,875}=15{,}015625\cdot0,020754\approx0,31163,
\operatorname{arctg}(3,875)\approx1,3178,
f(3,875)=0,31163-1,3178+1\approx-0,006211.
Agora f(3,75)>0 e f(3,875)<0, logo a raiz está em [3{,}75,3{,}875].

Passo 5

Continuo a bisseção refinando o intervalo [3{,}75,3{,}875].
Iteração 4: a_{4}=3{,}75,\; b_{4}=3{,}875.
x_{4}=\frac{3{,}75+3{,}875}{2}=3{,}8125.
Calcular f(3,8125):
e^{-3,8125}\approx0,022092,\qquad 3{,}8125^{2}e^{-3,8125}=14{,}53515625\cdot0,022092\approx0,32112,
\operatorname{arctg}(3,8125)\approx1,3142,
f(3,8125)=0,32112-1,3142+1\approx0,0069273.
Sinal positivo, então raiz em [3{,}8125,3{,}875].
Iteração 5: a_{5}=3{,}8125,\; b_{5}=3{,}875.
x_{5}=\frac{3{,}8125+3{,}875}{2}=3{,}84375.
Calcular f(3,84375):
e^{-3,84375}\approx0,021414,\qquad 3{,}84375^{2}e^{-3,84375}=14{,}77368164\cdot0,021414\approx0,31636,
\operatorname{arctg}(3,84375)\approx1,3160,
f(3,84375)=0,31636-1,3160+1\approx3,6300\times10^{-4}.
Sinal positivo (valor pequeno), então raiz em [3{,}84375,3{,}875].

Passo 6

Próxima iteração e verificação do critério de parada (erro relativo).
Iteração 6: a_{6}=3{,}84375,\; b_{6}=3{,}875.
x_{6}=\frac{3{,}84375+3{,}875}{2}=3{,}859375.
Calcular f(3,859375):
e^{-3,859375}\approx0,0210819,\qquad 3{,}859375^{2}e^{-3,859375}=14{,}89440918\cdot0,0210819\approx0,31400,
\operatorname{arctg}(3,859375)\approx1,3157,
f(3,859375)=0,31400-1,3157+1\approx-0,0016944.
Agora f(3,84375)>0 e f(3,859375)<0, então a raiz está em [3{,}84375,3{,}859375].
Calculo do erro relativo aproximado entre as duas últimas aproximações ( x_{5}=3{,}84375 e x_{6}=3{,}859375):
\text{erro}_{\text{rel}}\approx\left|\frac{3{,}859375-3{,}84375}{3{,}859375}\right| =\frac{0{,}015625}{3{,}859375}\approx0{,}0040513\approx0{,}40513\%.
Como \text{erro}_{\text{rel}}\approx0{,}40513\%<1\%, o critério de parada pedido (erro máximo de 1\%) é satisfeito.
Observação: cada valor numérico acima foi apresentado com 5 algarismos significativos (quando cabível, usei notação científica para manter 5 algarismos significativos em números muito pequenos).

Resposta

\,3{,}8594

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