{ }^{\text {a }} Questão (Valor = 2,0 pontos) Resolva a equação não linear a seguir por um método iterativo à sua escotha, utilizando como critério de parada o erro máximo de 1 \% e apresentando seus cálculos com 5 algarismos significativos. Antes de refinar a posição da raiz, isole o intervalo de busca que a contém.
x^{2} \cdot e^{-x}-\operatorname{arctg}(x)+1=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação por um método iterativo, usando critério de parada de erro máximo de 1\% e apresentando os cálculos com 5 algarismos significativos. A equação é
x^{2} e^{-x}-\operatorname{arctg}(x)+1=0.
O que nos foi dado / pedido:
Função a zerar: f(x)=x^{2} e^{-x}-\operatorname{arctg}(x)+1.
Deve-se isolar um intervalo que contenha a raiz (ou seja, encontrar a<b tais que f(a)\cdot f(b)<0).
Deve-se aplicar um método iterativo à escolha, com critério de parada: erro máximo 1\%.
Apresentar os cálculos com 5 algarismos significativos.
Passo 2
Escolha do método e definição das ferramentas que vou usar.
Vou usar o método da bisseção (método robusto e elementar, adequado para quando se encontra um intervalo com mudança de sinal).
Definição: dada função f contínua em [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, a bisseção gera aproximações x_{k} sendo x_{k} o ponto médio do intervalo atual [a_{k},b_{k}]:
x_{k}=\frac{a_{k}+b_{k}}{2}.
Critério de seleção do subintervalo: calcula-se f(x_{k}). Se f(a_{k})\cdot f(x_{k})<0 então a raiz está em [a_{k},x_{k}]; caso contrário está em [x_{k},b_{k}].
Critério de parada que vou usar (pedido): erro relativo aproximado entre duas iterações consecutivas:
Para parar precisamos \text{erro}_{\text{rel}}\leq1\%.
Explicação rápida das funções que aparecem: \operatorname{arctg}(x) é a função arco-tangente (em radianos). e^{-x} é a exponencial.
Passo 3
Isolamento inicial da raiz (procuro um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0). Vou testar alguns pontos e calcular f(x). Apresento os valores com 5 algarismos significativos.
Como f(3)\approx0,19904>0 e f(4)\approx-0,03277<0, há mudança de sinal em [3,4]. Portanto a raiz está isolada no intervalo
[3,4].
Passo 4
Aplicação do método da bisseção: iterações sucessivas (cada cálculo com 5 algarismos significativos). Vou anotar a, b, x=\dfrac{a+b}{2}, f(x) e decidir o próximo intervalo. Também calculo o erro relativo aproximado quando for possível.
Como \text{erro}_{\text{rel}}\approx0{,}40513\%<1\%, o critério de parada pedido (erro máximo de 1\%) é satisfeito.
Observação: cada valor numérico acima foi apresentado com 5 algarismos significativos (quando cabível, usei notação científica para manter 5 algarismos significativos em números muito pequenos).