a Questão (Valor = 3,0 pontos) Resolva o sistema de equações lineares a seguir através de:
Um método direto à sua escolha;
\begin{gathered} x-3 y+7 z=20 \\\\ 15 x-y-4 z=10 \\\\ 2 x+6 y-z=15 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e nos dá as três equações:
\begin{gathered} x-3y+7z=20\\\\ 15x-y-4z=10\\\\ 2x+6y-z=15 \end{gathered}
O objetivo é encontrar os valores de \,x,\;y e \,z que satisfazem simultaneamente as três equações.

Passo 2

Vou usar o método da eliminação de Gauss (um método direto). Ideia principal: escrever o sistema como matriz aumentada e aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por não zero, somar múltiplo de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular superior; então resolver por substituição regressiva. Essas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema e eliminamos x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 20\\[4pt] 15 & -1 & -4 & 10\\[4pt] 2 & 6 & -1 & 15 \end{array}\right)
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 15R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Calculemos termo a termo:
Para R_2:
15-15\cdot1 = 0,\quad -1-15\cdot(-3) = -1+45=44,
-4-15\cdot7=-4-105=-109,\quad 10-15\cdot20=10-300=-290.
Para R_3:
2-2\cdot1=0,\quad 6-2\cdot(-3)=6+6=12,
-1-2\cdot7=-1-14=-15,\quad 15-2\cdot20=15-40=-25.
A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 20\\[4pt] 0 & 44 & -109 & -290\\[4pt] 0 & 12 & -15 & -25 \end{array}\right).]

Passo 4

Agora eliminamos y da linha 3 usando a linha 2 como pivô. O fator é f=\dfrac{12}{44}=\dfrac{3}{11}. Faço R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{3}{11}R_2.
Calculemos os termos de R_3:
Para a coluna y:
12-\frac{3}{11}\cdot44=12-12=0.
Para a coluna z:
-15-\frac{3}{11}\cdot(-109)=-15+\frac{327}{11}.
Colocando em denominador comum 11:
-15=-\frac{165}{11},\quad -\frac{165}{11}+\frac{327}{11}=\frac{162}{11}.
Para o termo independente:
-25-\frac{3}{11}\cdot(-290)=-25+\frac{870}{11}.
Em denominador 11:
-25=-\frac{275}{11},\quad -\frac{275}{11}+\frac{870}{11}=\frac{595}{11}.
A matriz triangular superior é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 20\\[4pt] 0 & 44 & -109 & -290\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{162}{11} & \dfrac{595}{11} \end{array}\right).]

Passo 5

Da última linha obtemos diretamente z. A equação é
\frac{162}{11}\,z=\frac{595}{11}.
Dividindo ambos os lados por \dfrac{162}{11} (ou equivalently multiplicando por \dfrac{11}{162}):
z=\frac{\frac{595}{11}}{\frac{162}{11}}=\frac{595}{162}.
Observação: \dfrac{595}{162} está na forma irredutível (sem fator comum entre 595 e 162).

Passo 6

Agora usamos a segunda linha para encontrar y. A segunda linha dá
44y-109z=-290.
Isolando y:
44y=-290+109z,\qquad y=\frac{-290+109z}{44}.
Substituindo z=\dfrac{595}{162}:
y=\frac{-290+109\cdot\frac{595}{162}}{44}.
Faço as contas cuidadosamente. Primeiro calcule 109\cdot595=64855. Colocando sobre denominação comum 162:
-290=-290\cdot\frac{162}{162}=-\frac{46980}{162}.
Somando:
- \frac{46980}{162} + \frac{64855}{162} = \frac{17875}{162}.
Logo
y=\frac{\frac{17875}{162}}{44}=\frac{17875}{162\cdot44}=\frac{17875}{7128}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 11 (pois 17875\div11=1625 e 7128\div11=648):
y=\frac{1625}{648}.

Passo 7

Finalmente, calculamos x usando a primeira equação:
x-3y+7z=20\quad\Rightarrow\quad x=20+3y-7z.
Substituindo y=\dfrac{1625}{648} e z=\dfrac{595}{162}:
Calcule 3y=\dfrac{3\cdot1625}{648}=\dfrac{4875}{648}.
Calcule 7z=\dfrac{7\cdot595}{162}=\dfrac{4165}{162}=\dfrac{16660}{648} (multipliquei numerador e denominador por 4 para ter mesmo denominador 648).
Agora
x=20+\frac{4875}{648}-\frac{16660}{648}=20+\frac{4875-16660}{648}=20-\frac{11785}{648}.
Escrevendo 20=\dfrac{12960}{648}:
x=\frac{12960-11785}{648}=\frac{1175}{648}.

Passo 8

Resumo dos valores obtidos (verificação mental rápida: os valores são consistentes com as contas e o determinante da matriz de coeficientes é não-nulo, logo a solução é única).

Resposta

x=\dfrac{1175}{648}
y=\dfrac{1625}{648}
z=\dfrac{595}{162}

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