Questão 2 - (Valor: 6 pontos)
Usando separação de variáveis obtenha a solução geral da EDP, ux-4 uy= 0,(x, y) em R^2. Usando superposição de duas soluções resolva o PVC.
ux-4 uy=0,(x, y) e m R^2, u(0, y)=8 e^-3 y+4 e^-5 y, y in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Parcial (EDP) que é ux - 4 uy = 0 definida para todos os pontos (x, y) no plano real R^2. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais parciais, especificamente usando o método de separação de variáveis e superposição de soluções.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
  • Entender como separar as variáveis na EDP.
  • Saber como combinar soluções (superposição) para atender a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a EDP usando separação de variáveis. A equação é:
ux - 4 uy = 0
Isso significa que a derivada de u em relação a x menos 4 vezes a derivada de u em relação a y é igual a zero.
A ideia aqui é supor que a solução u pode ser escrita como uma função que depende de uma combinação de x e y . Vamos chamar essa combinação de xi = x + a y , onde a é uma constante que vamos determinar.
Então, podemos escrever u como u(xi) .

Passo 3

Agora, vamos substituir u(xi) na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
ux = dudxi cdot partial xipartial x = dudxi cdot 1 = dudxi
uy = dudxi cdot partial xipartial y = dudxi cdot a = a dudxi
Substituindo na equação:
dudxi - 4 ( a dudxi ) = 0
Fatorando dudxi :
dudxi (1 - 4a) = 0
Para que isso seja verdadeiro para toda xi , precisamos que:
1 - 4a = 0 implies a = 14

Passo 4

Agora que sabemos que a = 14 , a combinação de variáveis fica:
xi = x + 14 y
Portanto, a solução geral da EDP é qualquer função que dependa somente de xi :
u(x, y) = f( x + 14 y )
Onde f é uma função arbitrária de uma variável.

Passo 5

Mas a questão pede para usar a superposição de duas soluções para resolver o Problema de Valor de Cauchy (PVC). A condição inicial dada é:
u(0, y) = 8 e^-3y + 4 e^-5y, y in R
Vamos construir duas soluções particulares que, quando somadas, atendem essa condição inicial.

Passo 6

Primeiro, consideramos a solução geral:
u(x, y) = f( x + 14 y )
Para que u(0, y) = f( 14 y ) = 8 e^-3y + 4 e^-5y , precisamos que:
f( 14 y ) = 8 e^-3y + 4 e^-5y
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Seja z = 14 y , então y = 4z .
Substituindo:
f(z) = 8 e^-12z + 4 e^-20z

Passo 7

Agora, substituímos f(z) de volta na solução geral:
u(x, y) = 8 e^-12 ( x + 14 y ) + 4 e^-20 ( x + 14 y )
Simplificando os expoentes:
u(x, y) = 8 e^-12x - 3y + 4 e^-20x -5y

Resposta

A solução geral do PVC é:
u(x, y) = 8 e^-12x - 3y + 4 e^-20x -5y

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