Questão 2 - (Valor: 6 pontos)
Usando separação de variáveis obtenha a solução geral da EDP,
em
. Usando superposição de duas soluções resolva o PVC.
Usando separação de variáveis obtenha a solução geral da EDP,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Parcial (EDP) que é
definida para todos os pontos
no plano real
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais parciais, especificamente usando o método de separação de variáveis e superposição de soluções.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
- Entender como separar as variáveis na EDP.
- Saber como combinar soluções (superposição) para atender a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a EDP usando separação de variáveis. A equação é:
Isso significa que a derivada de
em relação a
menos 4 vezes a derivada de
em relação a
é igual a zero.
A ideia aqui é supor que a solução
pode ser escrita como uma função que depende de uma combinação de
e
. Vamos chamar essa combinação de
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Então, podemos escrever
como
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na equação:
Fatorando
:
Para que isso seja verdadeiro para toda
, precisamos que:
Passo 4
Agora que sabemos que
, a combinação de variáveis fica:
Portanto, a solução geral da EDP é qualquer função que dependa somente de
:
Onde
é uma função arbitrária de uma variável.
Passo 5
Mas a questão pede para usar a superposição de duas soluções para resolver o Problema de Valor de Cauchy (PVC). A condição inicial dada é:
Vamos construir duas soluções particulares que, quando somadas, atendem essa condição inicial.
Passo 6
Primeiro, consideramos a solução geral:
Para que
, precisamos que:
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Seja
, então
.
Substituindo:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na solução geral:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A solução geral do PVC é: