Resolva os PVIs:
1 y^prime prime+(4-18) y^prime+(7)^2 y=0 ; y(0)=0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 14y' + 49y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 0 e y'(0) = 0
Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para tais equações diferenciais. Precisamos encontrar as raízes da equação característica e, a partir delas, montar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Isso é feito substituindo y'' por r^2 , y' por r e y por 1 na equação diferencial:
r^2 - 14r + 49 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
r = 14 pm raiz(-14)^2 - 4 cdot 1 cdot 492 cdot 1 r = 14 pm raiz196 - 1962 r = 14 pm 02 r = 7
Então, a gente tem uma raiz real dupla r = 7 .

Passo 4

Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = (C1 + C2 t) e^rt
Substituindo r = 7 :
y(t) = (C1 + C2 t) e^7t

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os constantes C1 e C2 .
Primeiro, usamos y(0) = 0 :
0 = (C1 + C2 cdot 0) e^0 0 = C1
Então, C1 = 0 .
Agora, usamos y'(0) = 0 . Primeiro, vamos calcular a derivada de y(t) :
y'(t) = C2 e^7t + (C1 + C2 t) cdot 7 e^7t
Como C1 = 0 :
y'(t) = C2 e^7t + 7C2 t e^7t
Aplicando t = 0 :
0 = C2 e^0 + 0 0 = C2
Então, C2 = 0 .

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 0

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