Resolva os PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma técnica padrão para tais equações diferenciais. Precisamos encontrar as raízes da equação característica e, a partir delas, montar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Isso é feito substituindo
por
,
por
e
por 1 na equação diferencial:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Então, a gente tem uma raiz real dupla
.
Passo 4
Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Então,
.
Agora, usamos
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Como
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução do PVI é: