(Valor 1.5) Apresente três sistemas de equações lineares diferentes: um com solução única, um com infinitas soluções e um que não possui solução. Em cada caso, determine as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada, seus postos, e também os postos das matrizes dos coeficientes. Por fim, se o sistema for possível, determine o grau de liberdade.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos três sistemas lineares diferentes – um com solução única, um com infinitas soluções e um sem solução – e, em cada caso, calcular:
  1. A matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada (A\mid b).
  2. A forma escada (linha reduzida) de (A\mid b).
  3. Os postos \rank(A) e \rank(A\mid b).
  4. Quando o sistema for possível, o grau de liberdade (número de variáveis livres).

Passo 2

Sistema com solução única. Escolhemos
\begin{cases} x + y = 2,\\\ x - y = 0. \end{cases}
A matriz de coeficientes e a ampliada são
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]1 & -1\end{pmatrix}, \quad (A\mid b) = \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right].
Fazendo eliminação de Gauss em (A\mid b):
  1. R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  2. R_2 \leftarrow -\tfrac12 R_2
  3. R_1 \leftarrow R_1 - R_2
chegamos à forma escada reduzida
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Aqui há pivôs em ambas as colunas de A, logo
\rank(A)=2, \quad \rank(A\mid b)=2.
São duas equações em duas incógnitas, sem variáveis livres, então o sistema tem solução única e grau de liberdade 0.]

Passo 3

Sistema com infinitas soluções. Tomamos
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ 2x - y + z = 2. \end{cases}
As matrizes são
A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]2 & -1 & 1\end{pmatrix}, \quad (A\mid b) = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{array}\right].
Eliminação de Gauss:
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1
  2. R_2 \leftarrow -\tfrac13 R_2
  3. R_1 \leftarrow R_1 - R_2
fica a forma escada reduzida
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac23 & 1\\\\ 0 & 1 & \tfrac13 & 0 \end{array}\right].
Há dois pivôs em A mas três incógnitas, logo
\rank(A)=2, \quad \rank(A\mid b)=2, \quad \text{variáveis livres}=3-2=1.
O sistema é possível e tem uma família de soluções com um parâmetro livre.]

Passo 4

Sistema sem solução. Escolhemos
\begin{cases} x + y = 1,\\\ x + y = 2. \end{cases}
As matrizes são
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \quad (A\mid b) = \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right].
Eliminação de Gauss:
  1. R_2 \leftarrow R_2 - R_1
dá imediatamente
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
isto é, 0=1 na segunda linha. Logo
\rank(A)=1, \quad \rank(A\mid b)=2,
é um sistema impossível (inconsistente).]

Resposta

(a) Sistema com solução única:
\displaystyle\begin{cases}x + y =2,\x - y =0\end{cases},
[\rank(A)=2), \rank(A\mid b)=2, grau de liberdade 0.
(b) Sistema com infinitas soluções:
\displaystyle\begin{cases}x + y + z =1,\\\ 2x - y + z =2\end{cases}\], \[\rank(A)=2, \rank(A\mid b)=2, grau de liberdade 1.
(c) Sistema sem solução:
\displaystyle\begin{cases}x + y =1,\x + y =2\end{cases}\], \(\rank(A)=1, \rank(A\mid b)=2, impossível.

Exercícios relacionados