(Valor 1.5) Apresente três sistemas de equações lineares diferentes: um com solução única, um com infinitas soluções e um que não possui solução. Em cada caso, determine as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada, seus postos, e também os postos das matrizes dos coeficientes. Por fim, se o sistema for possível, determine o grau de liberdade.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos três sistemas lineares diferentes – um com solução única, um com infinitas soluções e um sem solução – e, em cada caso, calcular:
A matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada (A\mid b).
A forma escada (linha reduzida) de (A\mid b).
Os postos \rank(A) e \rank(A\mid b).
Quando o sistema for possível, o grau de liberdade (número de variáveis livres).
Passo 2
Sistema com solução única. Escolhemos
\begin{cases} x + y = 2,\\\ x - y = 0. \end{cases}
\displaystyle\begin{cases}x + y =2,\x - y =0\end{cases},
[\rank(A)=2), \rank(A\mid b)=2, grau de liberdade 0.
(b) Sistema com infinitas soluções: \displaystyle\begin{cases}x + y + z =1,\\\ 2x - y + z =2\end{cases}\],
\[\rank(A)=2, \rank(A\mid b)=2, grau de liberdade 1.
(c) Sistema sem solução: \displaystyle\begin{cases}x + y =1,\x + y =2\end{cases}\],
\(\rank(A)=1, \rank(A\mid b)=2, impossível.