Questão 3 (Valor 2,0) (Vetores) Um caminhão de entregas desloca-se sucessivamente de 1,37 \mathrm{~km} para sudeste, 0,85 \mathrm{~km} para o norte e 2,12 \mathrm{~km} na direção 17^{\circ} norte do leste. Determine o módulo e a direção do deslocamento resultante. Observação: serão aceitas somente soluções que usem vetores unitários.
Sugestão: Represente cada deslocamento no plano cartesiano, expressando-os em termos dos vetores unitários \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}}. Em seguida, efetue a soma vetorial dos três deslocamentos para obter o vetor resultante.

Passo 1

O enunciado diz que o caminhão faz três deslocamentos no plano:
1. 1,37 km para sudeste,
2. 0,85 km para norte,
3. 2,12 km na direção 17^\circ norte do leste.
Queremos o deslocamento resultante — módulo e direção — usando decomposição em vetores unitários \hat{\mathbf{i}} (leste) e \hat{\mathbf{j}} (norte).

Passo 2

Representamos cada vetor deslocamento:
\mathbf{d}_1 (sudeste = 45^\circ ao sul do leste):
\mathbf{d}_1 = 1,37\bigl(\cos45^\circ\,\hat{\mathbf{i}} - \sin45^\circ\,\hat{\mathbf{j}}\bigr).
\mathbf{d}_2 (norte):
\mathbf{d}_2 = 0\,\hat{\mathbf{i}} + 0,85\,\hat{\mathbf{j}}.
\mathbf{d}_3 ( 17^\circ norte do leste):
\mathbf{d}_3 = 2,12\bigl(\cos17^\circ\,\hat{\mathbf{i}} + \sin17^\circ\,\hat{\mathbf{j}}\bigr).

Passo 3

Calculamos os valores numéricos:
\cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0,7071,
\cos17^\circ\approx0,9563, \sin17^\circ\approx0,2924.
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\mathbf{d}_1 \approx 1,37\times0,7071\,\hat{\mathbf{i}} - 1,37\times0,7071\,\hat{\mathbf{j}} \approx 0,970\,\hat{\mathbf{i}} - 0,970\,\hat{\mathbf{j}},
\mathbf{d}_3 \approx 2,12\times0,9563\,\hat{\mathbf{i}} + 2,12\times0,2924\,\hat{\mathbf{j}} \approx 2,03\,\hat{\mathbf{i}} + 0,62\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Somamos componente a componente:
R_x = 0,970 + 0 + 2,03 = 3,00,\quad R_y = -0,970 + 0,85 + 0,62 = 0,50.
Portanto
\mathbf{R} = 3,00\,\hat{\mathbf{i}} + 0,50\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\text{km}).

Passo 5

O módulo de \mathbf{R} é
\lVert \mathbf{R}\rVert = \sqrt{(3,00)^2 + (0,50)^2} = \sqrt{9,00 + 0,25} = \sqrt{9,25} \approx 3,04\;\text{km}.

Passo 6

A direção é o ângulo \theta que \mathbf{R} faz com o eixo leste:
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{R_y}{R_x}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{0,50}{3,00}\bigr) \approx 9,5^\circ
ao norte do leste.

Resposta

Módulo: 3,04 km
Direção: 9,5^\circ ao norte do leste.

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