Questão: Uma variável aleatória X tem a seguinte função distribuição acumulada:
\mathrm{F}_{\mathrm{X}}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{lc} 0, & \mathrm{x}<-1 \\\\ 0,2 & -1 \leq \mathrm{x}<2 \\\\ 0,5 & 2 \leq \mathrm{x}<5 \\\\ 0,7 & 5 \leq \mathrm{x}<6 \\\\ 0,9 & 6 \leq \mathrm{x}<15 \\\\ 1 & \mathrm{x} \geq 15 \end{array} .\right.
a) Determine a função de probabilidade de X .
b) Faça o gráfico da função de probabilidade e da função distribuição acumulada.
c) \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 2), \mathrm{P}(\mathrm{X}=7)
d) \mathrm{P}(5 \leq \mathrm{X} \leq 15)
e) E(X)

Passo 1

O enunciado nos dá a função distribuição acumulada \mathrm{F}_{X}(x) de uma variável aleatória discreta X, definida por trechos constantes, com saltos em x=-1,2,5,6,15. Queremos:
– (a) a função massa de probabilidade p(x)=P(X=x);
– (b) os gráficos de p(x) e de \mathrm{F}_{X}(x);
– (c) P(X\le2) e P(X=7);
– (d) P(5\le X\le15);
– (e) E(X).
Para isso, vamos usar o fato de que, em distribuição discreta, cada salto de \mathrm{F}_{X}(x) em x é a probabilidade p(x).

Passo 2

Para uma variável aleatória discreta, a massa de probabilidade é dada pelo salto de \mathrm{F}_{X} em x:
p(x)=\mathrm{F}_{X}(x)-\lim_{t\to x^-}\mathrm{F}_{X}(t).
Aplicando isso aos pontos de salto:
\begin{aligned} p(-1)&=0,2-0=0,2,\\\ p(2) &=0,5-0,2=0,3,\\\ p(5) &=0,7-0,5=0,2,\\\ p(6) &=0,9-0,7=0,2,\\\ p(15)&=1-0,9=0,1. \end{aligned}
E p(x)=0 para todo x que não seja -1,2,5,6,15.

Passo 3

O gráfico da função massa de probabilidade p(x) é composto por “varetas” (barras finas) nos pontos -1,2,5,6,15 com alturas 0,2; 0,3; 0,2; 0,2; 0,1, respetivamente.
O gráfico da distribuição acumulada \mathrm{F}_{X}(x) é uma função degrau que vale 0 para x<-1, sobe para 0,2 em [-1,2), depois para 0,5 em [2,5), 0,7 em [5,6), 0,9 em [6,15) e finalmente 1 para x\ge15.

Passo 4

Para \displaystyle P(X\le2) usamos a própria CDF em x=2:
P(X\le2)=\mathrm{F}_{X}(2)=0,5.
Como não há salto em x=7, temos
P(X=7)=0.

Passo 5

Para \displaystyle P(5\le X\le15), somamos as massas em 5,6,15:
P(5\le X\le15)=p(5)+p(6)+p(15)=0,2+0,2+0,1=0,5.

Passo 6

O valor esperado de X é
E(X)=\sum_{x}x\,p(x) =-1\cdot0,2+2\cdot0,3+5\cdot0,2+6\cdot0,2+15\cdot0,1=4,1.

Resposta

(a) A função massa de probabilidade é
p(x)=\begin{cases} 0,2,&x=-1,\\\\ 0,3,&x=2,\\\\ 0,2,&x=5,\\\\ 0,2,&x=6,\\\\ 0,1,&x=15,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(b)
– Gráfico de p(x): varetas em -1,2,5,6,15 com alturas 0,2;0,3;0,2;0,2;0,1.
– Gráfico de \mathrm{F}_{X}(x): degrau que vale 0 até -1, depois 0,2, 0,5, 0,7, 0,9 e 1 nos intervalos indicados pelo enunciado.
(c) P(X\le2)=0,5, P(X=7)=0.
(d) P(5\le X\le15)=0,5.
(e) E(X)=4,1.

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