a) Determine a função de probabilidade de X .
b) Faça o gráfico da função de probabilidade e da função distribuição acumulada.
c) \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 2), \mathrm{P}(\mathrm{X}=7)
d) \mathrm{P}(5 \leq \mathrm{X} \leq 15)
e) E(X)
Passo 1
O enunciado nos dá a função distribuição acumulada \mathrm{F}_{X}(x) de uma variável aleatória discreta X, definida por trechos constantes, com saltos em x=-1,2,5,6,15. Queremos:
– (a) a função massa de probabilidade p(x)=P(X=x);
– (b) os gráficos de p(x) e de \mathrm{F}_{X}(x);
– (c) P(X\le2) e P(X=7);
– (d) P(5\le X\le15);
– (e) E(X).
Para isso, vamos usar o fato de que, em distribuição discreta, cada salto de \mathrm{F}_{X}(x) em x é a probabilidade p(x).
Passo 2
Para uma variável aleatória discreta, a massa de probabilidade é dada pelo salto de \mathrm{F}_{X} em x:
O gráfico da função massa de probabilidade p(x) é composto por “varetas” (barras finas) nos pontos -1,2,5,6,15 com alturas 0,2; 0,3; 0,2; 0,2; 0,1, respetivamente.
O gráfico da distribuição acumulada \mathrm{F}_{X}(x) é uma função degrau que vale 0 para x<-1, sobe para 0,2 em [-1,2), depois para 0,5 em [2,5), 0,7 em [5,6), 0,9 em [6,15) e finalmente 1 para x\ge15.
Passo 4
Para \displaystyle P(X\le2) usamos a própria CDF em x=2:
P(X\le2)=\mathrm{F}_{X}(2)=0,5.
Como não há salto em x=7, temos
P(X=7)=0.
Passo 5
Para \displaystyle P(5\le X\le15), somamos as massas em 5,6,15:
(b)
– Gráfico de p(x): varetas em -1,2,5,6,15 com alturas 0,2;0,3;0,2;0,2;0,1.
– Gráfico de \mathrm{F}_{X}(x): degrau que vale 0 até -1, depois 0,2, 0,5, 0,7, 0,9 e 1 nos intervalos indicados pelo enunciado.
(c) P(X\le2)=0,5, P(X=7)=0.
(d) P(5\le X\le15)=0,5.
(e) E(X)=4,1.