Sobre as funções f(x)=raiz[3]4-x^2 e g(x)=-raiz4-x^3 é correto:
(a) g(f(x))=x, somente para x <= 0
(b) f(g(x))=raiz4=2, para todo x in[-2,2]
© f(g(x))=x, para todo x in(-2,2)
(d) g(f(x))=-x, para todo x in(-2,2)
(e) nenhuma das demais alternativas está correta

Passo 1

Temos as funções f(x)=raiz[3]4-x^2 e g(x)=-raiz4-x^3. O enunciado pede para verificar qual das alternativas envolvendo as composições g(f(x)) e f(g(x)) está correta. Vamos usar as definições de raiz cúbica e raiz quadrada e o procedimento de composição de funções.

Passo 2

Começamos calculando g(f(x)). Pela definição de g, temos:
Como g(f(x)) = -raiz,4 - [f(x)]^3 , então f(x)=raiz[3]4-x^2. Substituindo no radical:
[f(x)]^3 = 4 - x^2
Recordando que g(f(x)) = -raiz4 - (4 - x^2) = -raizx^2 , obtemos:
raizx^2 = |x|

Passo 3

Para ver quando g(f(x)) = x, resolvemos:
-|x| = x
Isso só vale se x <= 0, pois para x<=0 temos -|x| = -(-x) = x. Logo, a alternativa (a) está correta.
As demais opções são descartadas: (b) e © envolvem f(g(x)), que simplifica a raiz[3]x^3=x mas tem domínio restrito, e não resulta em constante 2; (d) propõe g(f(x))=-x, mas achamos -|x|. Portanto, só a (a) faz sentido.

Resposta

A alternativa (a)

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