Questão 4 Verifique se são diagonalizáveis ou não as seguintes transformações:
tal que
e
;
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares
que satisfazem respectivamente
e
Pergunta-se se cada uma é diagonalizável. Para responder, vamos usar o critério:
um operador linear em um espaço de dimensão finita é diagonalizável se o seu polinômio mínimo se separa em fatores lineares simples (raízes distintas).
um operador linear em um espaço de dimensão finita é diagonalizável se o seu polinômio mínimo se separa em fatores lineares simples (raízes distintas).
Passo 2
Analisando o primeiro polinômio
podemos fatorar
As raízes de
são
Logo os valores próprios são
que são três valores distintos. Portanto o polinômio mínimo tem fatores lineares distintos e esse
é diagonalizável.
Passo 3
Analisando o segundo polinômio
fatoramos
As raízes de
são
Portanto os valores próprios são
também três valores distintos. Ou seja, o polinômio mínimo também se separa em fatores lineares simples.
Resposta
Ambas as transformações são diagonalizáveis.