Questão 4 Verifique se são diagonalizáveis ou não as seguintes transformações:
T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) tal que T^{3}-6 T^{2}-9 T=0 e T^{3}-4 T^{2}-3 T=0;

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que satisfazem respectivamente
T^3-6T^2-9T=0
e
T^3-4T^2-3T=0.
Pergunta-se se cada uma é diagonalizável. Para responder, vamos usar o critério:
um operador linear em um espaço de dimensão finita é diagonalizável se o seu polinômio mínimo se separa em fatores lineares simples (raízes distintas).

Passo 2

Analisando o primeiro polinômio
T^3-6T^2-9T=0
podemos fatorar
T\,(T^2-6T-9)=0.
As raízes de T^2-6T-9=0 são
T = \frac{6\pm\sqrt{36+36}}{2} = 3\pm3\sqrt{2}.
Logo os valores próprios são
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=3+3\sqrt{2},\quad \lambda_3=3-3\sqrt{2},
que são três valores distintos. Portanto o polinômio mínimo tem fatores lineares distintos e esse T é diagonalizável.

Passo 3

Analisando o segundo polinômio
T^3-4T^2-3T=0
fatoramos
T\,(T^2-4T-3)=0.
As raízes de T^2-4T-3=0 são
T = \frac{4\pm\sqrt{16+12}}{2} = 2\pm\sqrt{7}.
Portanto os valores próprios são
\lambda_1=0,\quad \lambda_2=2+\sqrt{7},\quad \lambda_3=2-\sqrt{7},
também três valores distintos. Ou seja, o polinômio mínimo também se separa em fatores lineares simples.

Resposta

Ambas as transformações são diagonalizáveis.

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