Questão 1 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathbb{R}^{3}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x y, x z).

Passo 1

O enunciado define T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y,z)=(xy,xz).
Para ser linear, T deve satisfazer aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Tomando u=(1,0,0) e v=(0,1,0) temos
T(u+v)=T(1,1,0)=(1,0)
mas
T(u)+T(v)=(0,0)+(0,0)=(0,0),
logo T(u+v)\neq T(u)+T(v), ou seja, T não é linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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