Questão 1 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=\mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(x-y, y-x, x-y);

Passo 1

O enunciado define T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y)=(x-y,\;y-x,\;x-y).
Precisamos verificar se T é linear e, caso afirmativo, determinar \mathrm{rank}(T) e \mathrm{nullity}(T).

Passo 2

Note que
T(x,y)=(x-y)\,(1,-1,1),
e a aplicação (x,y)\mapsto x-y é forma linear. Logo, T é linear.

Passo 3

Como
\mathrm{Im}(T)=\{(t,-t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,-1,1)\},
seguimos que \mathrm{rank}(T)=1. Além disso,
\ker(T)=\{(x,y)\mid x-y=0\}=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\},
logo \mathrm{nullity}(T)=1.

Resposta

T é linear, \mathrm{rank}(T)=1 e \mathrm{nullity}(T)=1.

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