Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
-6 t y t+(t+2 y) d yd t=0

Passo 1

Vamos escrever a EDO na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
identificando
M(t,y) = -6,t,y, N(t,y) = t + 2,y

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
My = partialpartial y(-6ty) = -6,t, Nt = partialpartial t(t+2y) = 1
Como Myneq Nt, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(t,y) tal que
partialpartial yl[mu,Mr] =partialpartial tl[mu,Nr]
Uma forma sistemática é usar
mu(t,y) = exp!l(integral My-NtN,dtr)
Aqui
My-NtN =-6t-1,t+2y,,
tratando y como constante, integramos em t:
integral -6t-1t+2y,dt = -6t + (12y-1),lnl(t+2yr)+C
Logo podemos tomar
mu(t,y) =exp!l(-6t + (12y-1)ln(t+2y)r) = e^-6t,(t+2y)^,12y-1

Resposta

Um fator integrante que torna a EDO exata é
boxedmu(t,y)=e^-6t,(t+2y)^,12y-1

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