Questão 2 Verifique se as funções
são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de
. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
,
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
definida por
é linear. Se for, determinar seu posto e sua nulidade. Vamos usar a linearidade das avaliações
e
e o Teorema do Núcleo e Imagem (posto–nulidade).
Passo 2
Para a linearidade, note que para
e
vale
e
Logo,
é transformação linear.)
Passo 3
O núcleo de
é
Isso significa que
tem raízes em
e em
, logo
com
. O espaço dos
tem dimensão
, portanto
Passo 4
Pela dimensão do domínio
e o Teorema do Posto–Nulidade,
Alternativamente, a imagem de
é o conjunto de matrizes
, com
, que também tem dimensão
.