Questão 2 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), \tilde{V}=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),
T(p)=\left(\begin{array}{cc} p(0) & p(1) \\\ p(0) & p(1) \end{array}\right) ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
T\colon V\to\tilde V,\quad V=\mathcal P_{3}(\mathbb R),\;\tilde V=M_{2\times2}(\mathbb R),
definida por
T(p)=\begin{pmatrix}p(0)&p(1)\p(0)&p(1)\end{pmatrix},
é linear. Se for, determinar seu posto e sua nulidade. Vamos usar a linearidade das avaliações p\mapsto p(0) e p\mapsto p(1) e o Teorema do Núcleo e Imagem (posto–nulidade).

Passo 2

Para a linearidade, note que para p,q\in\mathcal P_3(\mathbb R) e \alpha\in\mathbb R vale
T(p+q) =\begin{pmatrix}(p+q)(0)&(p+q)(1)\\(p+q)(0)&(p+q)(1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p(0)+q(0)&p(1)+q(1)\p(0)+q(0)&p(1)+q(1)\end{pmatrix} =T(p)+T(q)
e
T(\alpha p) =\begin{pmatrix}(\alpha p)(0)&(\alpha p)(1)\\(\alpha p)(0)&(\alpha p)(1)\end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix}p(0)&p(1)\p(0)&p(1)\end{pmatrix} =\alpha\,T(p).
Logo, T é transformação linear.)

Passo 3

O núcleo de T é
\ker T=\{\,p\in\mathcal P_3\mid p(0)=0,\;p(1)=0\}.
Isso significa que p tem raízes em 0 e em 1, logo
p(x)=x(x-1)\,q(x),
com \deg q\le1. O espaço dos q tem dimensão 2, portanto
\nulidade(T)=\dim\ker T=2.

Passo 4

Pela dimensão do domínio \dim\mathcal P_3=4 e o Teorema do Posto–Nulidade,
\posto(T)=\dim V-\nulidade(T)=4-2=2.
Alternativamente, a imagem de T é o conjunto de matrizes \bigl[\begin{smallmatrix}a&b\a&b\end{smallmatrix}\bigr], com a,b\in\mathbb R, que também tem dimensão 2.

Resposta

T é linear; \posto(T)=2; \nulidade(T)=2.

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