Questão 2 Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \tilde{V}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), T(A)=\operatorname{det}(A) x.

Passo 1

O enunciado define T: M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) por T(A)=\det(A)\,x. Precisamos verificar se T é linear, isto é, se preserva soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Tomemos A=I e B=2I, então \det(A+B)=\det(3I)=9\neq3=\det(A)+\det(B).
Logo T(A+B)=9x\neq3x=T(A)+T(B), portanto T não é linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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