Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}), \tilde{V}=\mathbb{R}^{2}, T(p)=(p(0), p(1) p(0)) ;

Passo 1

O enunciado define
V= \mathcal P_1(\mathbb R), \tilde V=\mathbb R^2 e
T(p) = \bigl(p(0),\,p(1)\,p(0)\bigr).
Para ser transformação linear, T deve satisfazer aditividade e homogeneidade. Vamos testar aditividade.

Passo 2

Considere p(x)=x e q(x)=1. Então
T(p+q)=T(x+1)=\bigl((x+1)(0),\,(x+1)(1)\,(x+1)(0)\bigr)=(1,2),
enquanto
T(p)+T(q)=(0,0)+(1,1)=(1,1).
Como (1,2)\neq(1,1), T não é aditiva e, portanto, não é linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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