Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas. V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),
T(x, y)=\left(\begin{array}{cc}
x & -y \\
-x & y
\end{array}\right) \text { . }
logo para quaisquer (x,y),(x',y') e c\in\mathbb{R} vale
T\bigl(c(x,y)+(x',y')\bigr) = c\,T(x,y)+T(x',y'),
portanto T é linear.
Passo 3
O espaço imagem de T é \mathrm{span}\{A,B\}. Se \alpha A+\beta B=0 então olhando nas entradas obtemos \alpha=0 e \beta=0,
logo \{A,B\} é conjunto livre e
\mathrm{rank}(T)=\dim\mathrm{Im}(T)=2.
Passo 4
Pela relação de dimensões em transformações lineares: