Verifique se as funções T: V \rightarrow \tilde{V} são transformações lineares. Caso afirmativo, determine o posto e a nulidade de T. Caso negativo dê contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=\mathbb{R}^{2}, \tilde{V}=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),
T(x, y)=\left(\begin{array}{cc} x & -y \\ -x & y \end{array}\right) \text { . }

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^2 \to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(x,y)=\begin{pmatrix}x & -y\\\ -x & y\end{pmatrix}
e pede para verificar linearidade e, se for linear, calcular posto e nulidade usando o Teorema da Dimensão.

Passo 2

Note que
T(x,y)=x\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&0\end{pmatrix}}_{A} \;+\; y\underbrace{\begin{pmatrix}0&-1\\\ 0&1\end{pmatrix}}_{B},
logo para quaisquer (x,y),(x',y') e c\in\mathbb{R} vale
T\bigl(c(x,y)+(x',y')\bigr) = c\,T(x,y)+T(x',y'),
portanto T é linear.

Passo 3

O espaço imagem de T é \mathrm{span}\{A,B\}. Se \alpha A+\beta B=0 então olhando nas entradas obtemos \alpha=0 e \beta=0,
logo \{A,B\} é conjunto livre e
\mathrm{rank}(T)=\dim\mathrm{Im}(T)=2.

Passo 4

Pela relação de dimensões em transformações lineares:
\dim\mathbb{R}^2=\mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T),
logo
2 = 2 + \mathrm{nullity}(T) \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{nullity}(T)=0.

Resposta

T é linear, \mathrm{rank}(T)=2, \mathrm{nullity}(T)=0.

Exercícios relacionados