Questão 3 Verifique se as transformações
são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para
composta por autovetores.
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Queremos verificar se
é diagonalizável em
e, caso positivo, encontrar uma base de
formada por autovetores de
.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de
na base canônica
. Temos
logo,
Passo 3
Para checar diagonalizabilidade, calculamos o polinômio característico de
:
Passo 4
Resolvendo
obtemos as raízes
isto é,
Como são dois autovalores distintos em
, isso já garante que
(e logo
) é diagonalizável.
Passo 5
Agora achamos um autovetor para
. Resolvemos
Da primeira linha vem
, isto é
. Escolhendo
, obtemos o autovetor
correspondente a
.]
Passo 6
Para
resolvemos
Da primeira linha
segue
. Tomando
, temos o autovetor
para
.]
Passo 7
Como encontramos dois autovalores distintos com seus respectivos autovetores linearmente independentes
e
, concluímos que
é diagonalizável e que
é uma base de
de autovetores.
Resposta
Sim,
é diagonalizável. Uma base de
formada por autovetores é