Questão 3 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores.
T(x, y)=(2 y, 3 x+y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (2y,\;3x+y).
Queremos verificar se T é diagonalizável em \mathbb{R}^2 e, caso positivo, encontrar uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores de T.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2\}. Temos
T(e_1)=T(1,0)=(0,3),\quad T(e_2)=T(0,1)=(2,1),
logo,
A=[T]_{\rm can} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[6pt] 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para checar diagonalizabilidade, calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 2 \\[3pt] 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(1-\lambda) - 2\cdot 3 = \lambda^2 - \lambda - 6.]

Passo 4

Resolvendo
\lambda^2 - \lambda - 6 = 0
obtemos as raízes
\lambda = \frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} = \frac{1\pm5}{2},
isto é,
\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = -2.
Como são dois autovalores distintos em \mathbb{R}, isso já garante que A (e logo T) é diagonalizável.

Passo 5

Agora achamos um autovetor para \lambda_1=3. Resolvemos
(A - 3I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-3 & 2 \\[3pt] 3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem -3x + 2y = 0, isto é y = \tfrac32 x. Escolhendo x=2, obtemos o autovetor
v_1 = (2,3)
correspondente a \lambda_1=3.]

Passo 6

Para \lambda_2=-2 resolvemos
(A + 2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2 & 2 \\[3pt] 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha 2x + 2y=0 segue y=-x. Tomando x=1, temos o autovetor
v_2 = (1,-1)
para \lambda_2=-2.]

Passo 7

Como encontramos dois autovalores distintos com seus respectivos autovetores linearmente independentes v_1 e v_2, concluímos que T é diagonalizável e que
\{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2 de autovetores.

Resposta

Sim, T é diagonalizável. Uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores é
\{(2,3),\,(1,-1)\}.

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