Questão 3 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores.
T(x, y)=(0, x);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
\;T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (0,x)
é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar os autovalores de T, seus autovetores e comparar a dimensão dos espaços próprios com as respectivas multiplicidades algébricas.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico de A é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 0\\[6pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2.]

Passo 3

Da equação \lambda^2=0 tiramos que o único autovalor é
\lambda=0 com multiplicidade algébrica 2. Agora vamos achar o espaço próprio associado, resolvendo
(A - 0\cdot I)v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad Av = 0.
Para v=(v_1,v_2) temos
Av = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\v_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
que impõe v_1=0 e deixa v_2 livre. Logo o espaço próprio é
E_0 = \{(0,v_2)\mid v_2\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(0,1)\},
de dimensão 1.

Passo 4

Como a multiplicidade algébrica de \lambda=0 é 2, mas o espaço próprio E_0 tem dimensão apenas 1, não há autovetores suficientes para formar uma base de \mathbb{R}^2. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável, pois seu único autovalor \lambda=0 possui espaço próprio de dimensão 1, menor que sua multiplicidade algébrica ( 2).

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