Questão 3 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores. T(x, y)=(0, x);
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear \;T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (0,x)
é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar os autovalores de T, seus autovetores e comparar a dimensão dos espaços próprios com as respectivas multiplicidades algébricas.
Passo 2
Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
Da equação \lambda^2=0 tiramos que o único autovalor é \lambda=0 com multiplicidade algébrica 2. Agora vamos achar o espaço próprio associado, resolvendo
(A - 0\cdot I)v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad Av = 0.
Como a multiplicidade algébrica de \lambda=0 é 2, mas o espaço próprio E_0 tem dimensão apenas 1, não há autovetores suficientes para formar uma base de \mathbb{R}^2. Portanto Tnão é diagonalizável.
Resposta
A transformação T não é diagonalizável, pois seu único autovalor \lambda=0 possui espaço próprio de dimensão 1, menor que sua multiplicidade algébrica (2).