Questão 3 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
$V=\mathcal{P}_{2}(X) \subseteq \mathbb{R}[X], W=\left{p \in V ; p^{2}(1)=p(0)\right}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos V=P2(X) (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
W=pin V mid p(1)^2 = p(0)
O conteúdo é teste de subespaço vetorial: verificar se W contém o polinômio zero, se é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Testando o polinômio zero: para p(x)=0 temos
p(1)^2 = 0^2 = 0 = p(0),
logo 0in W.

Passo 3

Contra-exemplo à multiplicação escalar: seja p(x)=1. Então
p(1)^2 = 1^2 = 1 = p(0),
logo pin W. Mas para alpha=2 temos (2p)(1)^2 = 4 neq 2 = (2p)(0), logo 2pnotin W. Portanto W não é fechado em multiplicação escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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