Questão 3 Verifique se os subconjuntos
abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
$V=\mathcal{P}_{2}(X) \subseteq \mathbb{R}[X], W=\left{p \in V ; p^{2}(1)=p(0)\right}.
$V=\mathcal{P}_{2}(X) \subseteq \mathbb{R}[X], W=\left{p \in V ; p^{2}(1)=p(0)\right}.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos
(polinômios de grau
) e o subconjunto
O conteúdo é teste de subespaço vetorial: verificar se
contém o polinômio zero, se é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Testando o polinômio zero: para
temos
logo
.
Passo 3
Contra-exemplo à multiplicação escalar: seja
. Então
logo
. Mas para
temos
, logo
. Portanto
não é fechado em multiplicação escalar.