Questão 1 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores. T(x, y)=(3 y+x, 2 x).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (3y + x,\;2x).
Para verificar se T é diagonalizável, vamos achar os valores próprios (autovalores) e verificar se obtemos dois autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 0 \end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 3x + 3y = 0, logo y = -x. Tomando x=1, obtemos
v_2 = (1,-1).
Passo 6
Os autovetores v_1=(3,2) e v_2=(1,-1) são linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e \{v_1,v_2\} forma uma base de \mathbb{R}^2 de autovetores.
Resposta
T é diagonalizável. Uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores é