Questão 1 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores.
T(x, y)=(3 y+x, 2 x).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (3y + x,\;2x).
Para verificar se T é diagonalizável, vamos achar os valores próprios (autovalores) e verificar se obtemos dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 3\\\\ 2 & -\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-\lambda) - 3\cdot2 = \lambda^2 - \lambda - 6.

Passo 3

Resolvendo \lambda^2 - \lambda - 6 = 0, temos
\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
isto é, os autovalores são
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -2.
Como são distintos, esperamos dois autovetores independentes.

Passo 4

Para \lambda_1 = 3, resolvemos
(A - 3I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1-3 & 3\\\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -2x + 3y = 0, logo y = \tfrac{2}{3}x. Tomando x=3, obtemos o autovetor
v_1 = (3,2).

Passo 5

Para \lambda_2 = -2, resolvemos
(A + 2I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1+2 & 3\\\\ 2 & 0+2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 3x + 3y = 0, logo y = -x. Tomando x=1, obtemos
v_2 = (1,-1).

Passo 6

Os autovetores v_1=(3,2) e v_2=(1,-1) são linearmente independentes. Portanto T é diagonalizável e \{v_1,v_2\} forma uma base de \mathbb{R}^2 de autovetores.

Resposta

T é diagonalizável. Uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores é
\{(3,2),\;(1,-1)\}.

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