Questão 2 Verifique se as transformações T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) são diagonalizáveis. Caso afirmativo, determine uma base para \mathbb{R}^{2} composta por autovetores.
T(x, y)=(x-2 y, x-y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (\,x - 2y,\;x - y\,)
é diagonalizável em \mathbb{R}^2 e, caso positivo, encontrar uma base de \mathbb{R}^2 composta por autovetores de T.

Passo 2

Vamos obter a matriz de T na base canônica \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}.
Calculamos
T(e_1)=T(1,0)=(1,1), \quad T(e_2)=T(0,1)=(-2,-1).
Portanto, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para decidir sobre diagonalização, encontramos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2\\\\ 1 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)\cdot1 = \lambda^2 + 1.
As raízes são
\lambda = \pm i,
que não pertencem a \mathbb{R}.

Passo 4

Não existe nenhum autovalor real, logo não há autovetores em \mathbb{R}^2. Em consequência, não conseguimos formar uma base real de autovetores e T não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável em \mathbb{R}^2.

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