Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1, raizx <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região
A = (x,y)inR^2 mid 0<= x<=1, raizx<= y<=3
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis): quando a região é limitada por duas curvas y=ftop(x) e y=fbot(x), o volume é
V = integrala^b pil[ftop(x)^2 - fbot(x)^2r],dx

Passo 2

Identificamos as “raios” em cada secção perpendicular ao eixo x:
  • raio externo R(x)=3, pois a parte superior da região está na reta y=3;
  • raio interno r(x)=raizx, pois a parte inferior da região está na curva y=raizx.

Passo 3

Pelo método dos anéis, o volume é
V = integral0^1 pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = integral0^1 pil[3^2 - (raizx)^2r],dx = integral0^1 pil[9 - xr],dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
V = pi integral0^1 (9 - x),dx = pi l[9x - tfracx^22r]0^1 = pi l(9cdot1 - tfrac1^22 - 0r) = pil(9 - tfrac12r) = tfrac172,pi

Resposta

V = 17pi2

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