Questão1:
Calcule o determinante:
\left| \begin{array}{llll}1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 6 & 6 & 4\\\\ 2 & 5 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular \det(A). Vamos usar operações elementares de linha para gerar zeros e, em seguida, expandir o determinante.

Passo 2

Aplicamos operações de linha que não alteram o determinante:
L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1},\quad L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1},\quad L_{4}\leftarrow L_{4}-L_{1}.
Isso transforma A em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 4 & 0 & 2\\\\ 0 & 3 & -3 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela primeira coluna, pois temos apenas um elemento não nulo nessa coluna (linha 1). Logo,
\det(A) =1 \times \det\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Para esse menor 3\times3 usamos a regra de Sarrus (ou cofactores):
\det\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} =4\bigl((-3)\cdot0 - 1\cdot(-2)\bigr) -0\bigl(3\cdot0 - 1\cdot0\bigr) +2\bigl(3\cdot(-2) - (-3)\cdot0\bigr) =4\cdot2 + 2\cdot(-6) =8 - 12 =-4.

Resposta

-4

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