Questão1:
Calcule o determinante:
\left| \begin{array}{llll}1 & 5 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 8 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 & 2\\\\ 3 & 2 & 8 & 3\\\\ 1 & 3 & 2 & 1\\\\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
O conteúdo é determinantes e usaremos operações elementares de linha: adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante, permitindo triangular a matriz e obter o valor como produto dos pivôs.

Passo 2

Eliminamos as entradas abaixo do pivô em (1,1) aplicando
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 3\mathrm{R}_1,
\mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_1 e
\mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - 2\mathrm{R}_1.
A matriz resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 & 2 \\\\ 0 & -13 & -1 & -3 \\\\ 0 & -2 & -1 & -1 \\\\ 0 & -10 & -5 & -3 \end{pmatrix}

Passo 3

O pivô em (2,2) é -13. Zeramos abaixo com
\mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \tfrac{2}{13}\mathrm{R}_2 e
\mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - \tfrac{10}{13}\mathrm{R}_2.
Assim obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 & 2 \\\\ 0 & -13 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{11}{13} & -\tfrac{7}{13} \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{55}{13} & -\tfrac{9}{13} \end{pmatrix}

Passo 4

O pivô em (3,3) é -\tfrac{11}{13}. Eliminamos abaixo aplicando
\mathrm{R}_4 \leftarrow \mathrm{R}_4 - 5\mathrm{R}_3,
ficando a forma triangular
\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 & 2 \\\\ 0 & -13 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{11}{13} & -\tfrac{7}{13} \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Passo 5

Como usamos apenas adição de múltiplos de linha (que não altera o determinante), temos
\det = 1 \cdot (-13) \cdot \Bigl(-\tfrac{11}{13}\Bigr) \cdot 2 = 22.

Resposta

22

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