4{ }^{\text {a }} Questão(Valor 2.0)
Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que \mathbb{R}^{4}=\operatorname{Im}(T) \oplus W ,onde W=S(\{(1,1,2,1),(2,1,0,1)\})

Passo 1

O objetivo é achar uma transformação linear \,T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4
tal que
\mathbb{R}^4=\operatorname{Im}(T)\oplus W,
onde
W = \operatorname{Span}\bigl\{(1,1,2,1),\,(2,1,0,1)\bigr\}.
Para isso precisamos
  1. determinar \dim W,
  2. escolher um subespaço complemento U\subset\mathbb{R}^4 de dimensão 4-\dim W,
  3. definir T com \operatorname{Im}(T)=U e verificar a soma direta.

Passo 2

Calculemos \dim W. Os vetores \,(1,1,2,1) e (2,1,0,1)
são linearmente independentes (não há \alpha,\beta não nulos tais que \alpha(1,1,2,1)+\beta(2,1,0,1)=0 a não ser \alpha=\beta=0). Logo
\dim W = 2.
Como \dim\mathbb{R}^4=4, o complemento U deve ter dimensão
4 - \dim W = 4-2 = 2.

Passo 3

Escolhemos
U = \operatorname{Span}\{e_3,e_4\},
onde e_3=(0,0,1,0) e e_4=(0,0,0,1).
  1. Dimensão de U é 2 por construção.
  2. U\cap W=\{0\}: se
\alpha(1,1,2,1)+\beta(2,1,0,1)\in U
então suas duas primeiras coordenadas devem ser zero, isto é
\alpha+2\beta=0,\quad \alpha+\beta=0
que implicam \alpha=\beta=0.
3. Como \dim U+\dim W=2+2=4 e a interseção é trivial, tem-se U\oplus W=\mathbb{R}^4.

Passo 4

Definimos T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 por
T(x,y,z) = x\,e_3 \;+\; y\,e_4 \;=\;(0,0,x,y).
Então
\operatorname{Im}(T) = \{(0,0,x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\} = U
e de fato \mathbb{R}^4 = \operatorname{Im}(T)\oplus W.

Resposta

Podemos tomar
T(x,y,z) = (0,0,x,y).

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