Sejam T, S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} duas transformações lineares, B=\{(1,2) ;(-2,3)\} uma base de \mathbb{R}^{2} e C=\{(0,1,1),(0,-1,1),(1,0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{3}
Se S(x, y)=(x+2 y,-2 x-y, 3 x-y),determine (S)_{B, C}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
S(x,y) = (\,x+2y,\,-2x-y,\;3x-y\,),
a base do domínio B=\{(1,2),\,(-2,3)\} e a base do contradomínio
C=\{(0,1,1),\;(0,-1,1),\;(1,0,1)\}.
Precisamos encontrar a matriz (S)_{B,C}, ou seja, calcular as imagens dos vetores de B por S e expressá-las em coordenadas na base C.

Passo 2

Calcular S sobre o primeiro vetor de B, isto é (1,2). Substituindo em S(x,y):
S(1,2) = (\,1+2\cdot2,\;-2\cdot1-2,\;3\cdot1-2\,) = (5,\,-4,\;1).

Passo 3

Queremos achar escalares a,b,c\) tais que \[(5,-4,1) = a\,(0,1,1) + b\,(0,-1,1) + c\,(1,0,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c = 5,\\\ a - b = -4,\\\ a + b + c = 1. \end{cases}
De c=5\] e da terceira equação temos \[a+b = 1-5 = -4. Assim
\begin{cases} a - b = -4,\\\ a + b = -4, \end{cases} \quad\implies\quad a=-4,\;b=0.
Logo as coordenadas de S(1,2)\] em \(C são \bigl(-4,\,0,\,5\bigr).

Passo 4

Agora calculamos S\) sobre o segundo vetor de \(B\), isto é \((-2,3)\): \[S(-2,3) = (\,-2+2\cdot3,\;-2(-2)-3,\;3(-2)-3\,) = (4,\;1,\;-9).
Buscamos a,b,c tais que
(4,1,-9) = a\,(0,1,1) + b\,(0,-1,1) + c\,(1,0,1).
O sistema é
\begin{cases} c = 4,\\\ a - b = 1,\\\ a + b + c = -9. \end{cases}
De c=4\] e da terceira equação temos \[a+b = -9-4 = -13. Portanto
\begin{cases} a - b = 1,\\\ a + b = -13, \end{cases} \quad\implies\quad a=-6,\;b=-7.
As coordenadas de S(-2,3)\] em \(C são \bigl(-6,\,-7,\,4\bigr).

Passo 5

A matriz de S em relação a B e C tem colunas dadas pelas coordenadas de S(1,2) e S(-2,3) em C. Logo
(S)_{B,C} = \begin{pmatrix} -4 & -6\\\\ 0 & -7\\\\ 5 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

(S)_{B,C} = \begin{pmatrix} -4 & -6\\\\ 0 & -7\\\\ 5 & 4 \end{pmatrix}.

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