2* Questifo: Considere um recipiente com fluido sujeito a uma aceleraçăo vertical a para cima. (a) Mostre que a variaçăo da pressăo com a profundidade no fluido é expressa por:
\Delta p=\rho h(g+a)
(b) Se o recipiente estivesse em queda livre, qual seria esta diferença de pressão?

Passo 1

O enunciado pede para um fluido num recipiente acelerado verticalmente para cima com aceleração a mostrar que, entre dois pontos com diferença de profundidade h, a pressão varia segundo
\Delta p = \rho\,h\,(g + a),
e depois, no caso de queda livre, avaliar essa diferença de pressão. Vamos tratar o fluido em equilíbrio estático num referencial acelerado, usando as forças de peso e de inércia (força inercial de D’Alembert).

Passo 2

Considere um pequeno elemento cilíndrico de fluido de seção A e altura \mathrm{d}z, alinhado verticalmente. No referencial acelerado para cima com aceleração a, aplicam-se sobre ele:
  1. Força de pressão na face inferior, p(z+\mathrm{d}z)\,A, para cima.
  2. Força de pressão na face superior, p(z)\,A, para baixo.
  3. Peso, \rho\,A\,\mathrm{d}z\;g, para baixo.
  4. Força inercial, \rho\,A\,\mathrm{d}z\;a, também para baixo (já que a aceleração real é para cima).
    Como o fluido está “em repouso” no referencial acelerado, somatório das forças em z dá zero:
p(z+\mathrm{d}z)\,A - p(z)\,A - \rho\,A\,\mathrm{d}z\;g - \rho\,A\,\mathrm{d}z\;a = 0.

Passo 3

Reorganizando a equação acima, divide-se por A e isola-se a diferença de pressão:
p(z+\mathrm{d}z) - p(z) = \rho\,(g + a)\,\mathrm{d}z.
Isso mostra que o gradiente de pressão é
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = \rho\,(g + a).
Integramos esse gradiente ao longo de uma coluna de fluido de profundidade h, da superfície z=0 até o fundo z=h:
\Delta p = p(h) - p(0) \;=\; \int_{0}^{h} \rho\,(g+a)\,\mathrm{d}z \;=\; \rho\,(g + a)\,h.

Passo 4

No caso de queda livre o recipiente acelera para baixo com a = -\,g. Substituindo em
\Delta p = \rho\,h\,(g + a)
vem
\Delta p = \rho\,h\,(g - g) = 0.
Logo, em queda livre não há variação de pressão com a profundidade: a pressão fica uniforme em todo o fluido.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta p = \rho\,h\,(g + a)
(b) Em queda livre \displaystyle \Delta p = 0.

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