Questiōo 4. (2,5) Nas proximidades da superfície da Terra existe um campo elétrico cujas linhas sio praticamente uniformes e apontam verticalmente para baixo. Ao nivel do mar, o módulo desse campo é aproximadamente igual a 120 \mathrm{~N} / \mathrm{C}, diminuindo em função da altitude: a 2.0 km acima do nivel do mar, o módulo do campo é aproximadamente igual 66 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Determine a densidade volumétrica média de carga elétrica nessa regiảo da atmosfera (entre o nftel do mar e 2,0 \mathrm{~km} de altitude). Considere que a densidade volumétrica de carga seja utna função continua e que dependa apenas da altitude em relação ao nível do mar.
Dica: utilize a expressio para o valor médio de uma função f(x) no intervalo a \leq x \leq b, dada por:
f_{\text {medio }}=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x
Por exemplo, seja g(x)=\cos ^{2}(x) no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi. Então:
\text { Inedio }=\frac{1}{2 \pi-0} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2}(x) d x=\frac{1}{2 \pi}\left[\frac{\operatorname{sen}(2 x)}{4}+\frac{x}{2}\right]_{x=0}^{x=2 \pi}=\frac{1}{2}
Sese ê um resultado bem conhecido, visto que 0 \leq \cos ^{2}(x) \leq 1 no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi, oscilando metricamente em torno de 1 / 2 .^{1}

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico quase uniforme, vertical e para baixo, cujo módulo varia de \,E(0)=120\mathrm{~N/C}\, ao nível do mar até \,E(2{,}0\mathrm{~km})=66\mathrm{~N/C}\,. Queremos a densidade volumétrica média de carga \rho_{\text{médio}}é entre z=0 e z=2{,}0\mathrm{~km}. O conteúdo envolvido é a lei de Gauss no seu formato diferencial, que relaciona divergência do campo elétrico com densidade de carga:
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Como o campo é vertical, \mathbf{E}(z)=-E(z)\,\hat z, a divergência fica
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\partial E_{z}}{\partial z} =\frac{\partial(-E(z))}{\partial z}=-\frac{dE}{dz}.
Logo, da lei de Gauss diferencial
\frac{\rho(z)}{\varepsilon_{0}}=-\frac{dE}{dz} \quad\Longrightarrow\quad \rho(z)=-\varepsilon_{0}\,\frac{dE}{dz}.

Passo 3

A densidade média no intervalo 0\le z\le b (com b=2000\mathrm{~m}) é
\rho_{\text{médio}} =\frac{1}{b-0}\int_{0}^{b}\rho(z)\,dz =-\frac{\varepsilon_{0}}{b}\int_{0}^{b}\frac{dE}{dz}\,dz =-\frac{\varepsilon_{0}}{b}\bigl[E(b)-E(0)\bigr].é
Como E(0)=120\mathrm{~N/C} e E(b)=66\mathrm{~N/C}, temos
\rho_{\text{médio}} =-\frac{\varepsilon_{0}}{2000}\bigl(66-120\bigr) =\frac{\varepsilon_{0}}{2000}(120-66).é

Passo 4

Substituindo \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\mathrm{~C^{2}/(N\cdot m^{2})} e fazendo as contas:
\rho_{\text{médio}} =\frac{8{,}85\times10^{-12}\times(120-66)}{2000} =\frac{8{,}85\times10^{-12}\times54}{2000} \approx 2{,}39\times10^{-13}\mathrm{~C/m^{3}}.é

Resposta

A densidade volumétrica média de carga entre o nível do mar e 2{,}0\mathrm{~km} é aproximadamente
2{,}4\times10^{-13}\;\mathrm{C/m^{3}}.

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