Questiōo 4.
Nas proximidades da superfície da Terra existe um campo elétrico cujas linhas sio praticamente uniformes e apontam verticalmente para baixo. Ao nivel do mar, o módulo desse campo é aproximadamente igual a
, diminuindo em função da altitude: a 2.0 km acima do nivel do mar, o módulo do campo é aproximadamente igual
. Determine a densidade volumétrica média de carga elétrica nessa regiảo da atmosfera (entre o nftel do mar e
de altitude). Considere que a densidade volumétrica de carga seja utna função continua e que dependa apenas da altitude em relação ao nível do mar.
Dica: utilize a expressio para o valor médio de uma função
no intervalo
, dada por:
Por exemplo, seja
no intervalo
. Então:
Sese ê um resultado bem conhecido, visto que
no intervalo
, oscilando metricamente em torno de
Dica: utilize a expressio para o valor médio de uma função
Passo 1
O enunciado dá um campo elétrico quase uniforme, vertical e para baixo, cujo módulo varia de
ao nível do mar até
. Queremos a densidade volumétrica média de carga
entre
e
. O conteúdo envolvido é a lei de Gauss no seu formato diferencial, que relaciona divergência do campo elétrico com densidade de carga:
Passo 2
Como o campo é vertical,
, a divergência fica
Logo, da lei de Gauss diferencial
Passo 3
A densidade média no intervalo
(com
) é
Como
e
, temos
Passo 4
Substituindo
e fazendo as contas:
Resposta
A densidade volumétrica média de carga entre o nível do mar e
é aproximadamente