1. (Valor: \mathbf{1 . 5} pontos) Considere a função complexa f(z)=\frac{1}{z}. Mostre que f(z) è analitica em todo plano complexo, exceto a origem z=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=\frac{1}{z}
é analítica (ou seja, holomorfa) em todo o plano complexo exceto no ponto z=0. Para isso, vamos usar a definição de derivada complexa e verificar que ela existe para todo z\neq0.

Passo 2

A definição de derivada complexa de f num ponto z é
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que f é complexamente diferenciável em z. E se f' existir para todo z em um conjunto aberto, então f é analítica nesse conjunto.

Passo 3

Vamos calcular a diferença incrementada:
\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\frac{\frac{1}{z+h}-\frac{1}{z}}{h} =\frac{\frac{z-(z+h)}{z(z+h)}}{h} =\frac{-h}{h\,z\,(z+h)} =-\frac{1}{z\,(z+h)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(z) =\lim_{h\to0}\bigl(-\tfrac{1}{z\,(z+h)}\bigr) =-\frac{1}{z^2}.
Esse limite é bem-definido para todo z\neq0, mas não existe em z=0 (ali há divisão por zero).

Passo 5

Concluímos que para cada z\neq0 a derivada f'(z)=-1/z^2 existe e é contínua em função de z. Portanto f é analítica em todo \mathbb{C}\setminus\{0\}, e falha em ser diferenciável apenas na origem.

Resposta

A função f(z)=1/z é analítica em \mathbb{C}\setminus\{0\} e tem uma singularidade simples na origem.

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