- (Valor:
pontos) Considere a função complexa
. Mostre que
è analitica em todo plano complexo, exceto a origem
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é analítica (ou seja, holomorfa) em todo o plano complexo exceto no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada complexa e verificar que ela existe para todo
.
Passo 2
A definição de derivada complexa de
num ponto
é
Se esse limite existir e for finito, dizemos que
é complexamente diferenciável em
. E se
existir para todo
em um conjunto aberto, então
é analítica nesse conjunto.
Passo 3
Vamos calcular a diferença incrementada:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Esse limite é bem-definido para todo
, mas não existe em
(ali há divisão por zero).
Passo 5
Concluímos que para cada
a derivada
existe e é contínua em função de
. Portanto
é analítica em todo
, e falha em ser diferenciável apenas na origem.
Resposta
A função
é analítica em
e tem uma singularidade simples na origem.