Resolva para u=u(x, y) :
u_{y y}+16 u=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos u(x,y) tal que
\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+16\,u=0.
Isso é uma equação linear de segunda ordem em y com coeficientes constantes e sem derivadas em x. Logo, podemos tratar x como parâmetro e resolver uma EDO em y.

Passo 2

Escrevendo a equação apenas em função de y, obtemos a EDO
\frac{d^2u}{dy^2}+16\,u=0.
Aqui usamos a teoria de equações lineares de coeficientes constantes.

Passo 3

Formamos a equação característica associada:
\lambda^2 + 16 = 0
cuja solução é
\lambda = \pm 4\,i.
Portanto, a solução geral complexa é
u(x,y)=C_1(x)\,e^{4\,i\,y}+C_2(x)\,e^{-4\,i\,y},
onde C_1 e C_2 são funções arbitrárias de x.

Passo 4

Para ficar na forma real, usamos a identidade de Euler e reescrevemos com funções reais A(x) e B(x):
u(x,y)=A(x)\,\cos(4y)+B(x)\,\sin(4y).
Aqui A e B incorporam as constantes complexas de C_1,C_2 e permanecem arbitrárias em função de x.

Resposta

u(x,y)=A(x)\,\cos(4y)+B(x)\,\sin(4y),
onde A e B são funções arbitrárias de x.

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