Resolva para u=u(x, y) :
u_{x x}=u

Passo 1

O enunciado pede a função u=u(x,y) que satisfaz a equação de derivadas parciais
u_{xx}=u.
O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial ordinária em x, tratando y como parâmetro.

Passo 2

Para cada valor fixo de y, a equação vira
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-u=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é
\lambda^2-1=0,
cuja soluções são \lambda=1 e \lambda=-1.

Passo 3

Assim, a solução geral da EDO em x é
u(x,y)=A(y)e^{\,x}+B(y)e^{-\,x},
onde A(y) e B(y) são funções arbitrárias de y.

Resposta

u(x,y)=A(y)e^{\,x}+B(y)e^{-\,x},
onde A e B são funções arbitrárias de y.

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