As questões 7. a 10. são referentes às funções f(x)=x^2-x+1, g(x)=x^20 e h(x)=x-1.
Considere as afirmativas a seguir.
a) i.
b) ii.
c) nenhuma
d) iii.
e) NDA
i) 1 / f(x) é diferenciável em qualquer ponto.
ii) 1 / g(x) é diferenciável em qualquer ponto.
iii) 1 / h(x) é diferenciável em qualquer ponto.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?

Passo 1

O enunciado pede pra verificar em quais pontos as funções reciprocais 1/f(x), 1/g(x) e 1/h(x) são diferenciáveis e, com base nisso, escolher a alternativa que indica apenas as afirmativas verdadeiras.

Passo 2

Sabemos que, em geral, se p(x) é polinomial (logo diferenciável em todo ℝ), então 1/p(x) é diferenciável em todo ponto onde p(x)≠0. Vamos usar essa regra para cada caso.

Passo 3

Para i), f(x)=x²–x+1 não se anula para nenhum x real, pois o discriminante Δ= (–1)²–4·1·1=–3<0. Logo f(x)≠0 em ℝ, e portanto 1/f(x) é diferenciável em todo ℝ. i) é verdadeira.

Passo 4

Para ii), g(x)=x²⁰ é polinomial, mas g(0)=0, então 1/g(x)=x^(–20) não está definida em x=0, logo não é diferenciável em 0. ii) é falsa.

Passo 5

Para iii), h(x)=x–1 anula-se em x=1, então 1/h(x)=1/(x–1) não existe em x=1 e não é diferenciável ali. iii) é falsa.

Passo 6

Concluindo, apenas a afirmativa i) é verdadeira, o que corresponde à alternativa a).

Resposta

a

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