As questões 7. a 10. são referentes às funções
e
.
Considere as afirmativas a seguir.
a) i.
b) ii.
c) nenhuma
d) iii.
e) NDA
i)
é diferenciável em qualquer ponto.
ii)
é diferenciável em qualquer ponto.
iii)
é diferenciável em qualquer ponto.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
Considere as afirmativas a seguir.
a) i.
b) ii.
c) nenhuma
d) iii.
e) NDA
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado pede pra verificar em quais pontos as funções reciprocais 1/f(x), 1/g(x) e 1/h(x) são diferenciáveis e, com base nisso, escolher a alternativa que indica apenas as afirmativas verdadeiras.
Passo 2
Sabemos que, em geral, se p(x) é polinomial (logo diferenciável em todo ℝ), então 1/p(x) é diferenciável em todo ponto onde p(x)≠0. Vamos usar essa regra para cada caso.
Passo 3
Para i), f(x)=x²–x+1 não se anula para nenhum x real, pois o discriminante Δ= (–1)²–4·1·1=–3<0. Logo f(x)≠0 em ℝ, e portanto 1/f(x) é diferenciável em todo ℝ. i) é verdadeira.
Passo 4
Para ii), g(x)=x²⁰ é polinomial, mas g(0)=0, então 1/g(x)=x^(–20) não está definida em x=0, logo não é diferenciável em 0. ii) é falsa.
Passo 5
Para iii), h(x)=x–1 anula-se em x=1, então 1/h(x)=1/(x–1) não existe em x=1 e não é diferenciável ali. iii) é falsa.
Passo 6
Concluindo, apenas a afirmativa i) é verdadeira, o que corresponde à alternativa a).
Resposta
a