Seja f uma função diferenciável em x e f^prime sua derivada em x. Qual das alternativas a seguir indica corretamente uma expressão para f^primef^2+2 f+1 ?
(a) f^prime+1f^2+2 f+1
© f^primef+1
(b) f^prime+ff+1
(d)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)f'(x)+1, mas como nenhuma alternativa envolve f'', interpretamos que o denominador é na verdade f(x)+1. Então queremos ddxl[tfracf(x)f(x)+1r], que é um caso de Regra do Quociente.

Passo 2

Definimos U=f(x) e V=f(x)+1. Sabemos que U'=f'(x) e como a derivada de f(x)+1 é só f'(x), temos V'=f'(x).

Passo 3

A Regra do Quociente diz que
ddxl[UVr] =U',V - U,V'V^2

Passo 4

Substituindo U=f, U'=f', V=f+1 e V'=f' no numerador:
f'(f+1) - f,f' = f',(f+1 - f) = f'

Passo 5

O denominador fica
V^2 = (f+1)^2 = f^2 + 2f + 1

Passo 6

Logo a derivada é
f'f^2 + 2f + 1
que corresponde à alternativa (a).

Resposta

f'f^2 + 2f + 1

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