Questões:
  1. (15 pts) Sejam u, v in R^3, mostre que
|u times v|^2=|u|^2|v|^2-(u cdot v)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores u,vinR^3, vale
|utimesv|^2=|u|^2,|v|^2 - (ucdotv)^2
O conteúdo envolve produto escalar, produto vetorial, norma de vetor e a relação geométrica entre eles via o ângulo theta entre u e v.

Passo 2

Seja theta o ângulo entre u e v. Pelas definições geométricas temos:
ucdotv = |u|,|v|costheta,
|utimesv| = |u|,|v|sintheta
Aqui usamos que o produto escalar mede a projeção (coseno) e o produto vetorial mede a área do paralelogramo gerado pelos vetores (seno).

Passo 3

Elevando ao quadrado a expressão do produto vetorial:
|utimesv|^2 = l(|u|,|v|sinthetar)^2 = |u|^2,|v|^2,sin^2theta

Passo 4

Elevando ao quadrado a expressão do produto escalar e formando a diferença:
(ucdotv)^2 = l(|u|,|v|costhetar)^2 = |u|^2,|v|^2,cos^2theta,
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|u|^2,|v|^2 ;-; (ucdotv)^2 = |u|^2,|v|^2,l(1-cos^2thetar) = |u|^2,|v|^2,sin^2theta

Passo 5

Comparando com o resultado de |utimesv|^2 do Passo 3, concluímos a identidade desejada.

Resposta

|utimesv|^2=|u|^2,|v|^2-(ucdotv)^2

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