Questões:
- (15 pts) Sejam
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores
, vale
O conteúdo envolve produto escalar, produto vetorial, norma de vetor e a relação geométrica entre eles via o ângulo
entre
e
.
Passo 2
Seja
o ângulo entre
e
. Pelas definições geométricas temos:
Aqui usamos que o produto escalar mede a projeção (coseno) e o produto vetorial mede a área do paralelogramo gerado pelos vetores (seno).
Passo 3
Elevando ao quadrado a expressão do produto vetorial:
Passo 4
Elevando ao quadrado a expressão do produto escalar e formando a diferença:
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Passo 5
Comparando com o resultado de
do Passo 3, concluímos a identidade desejada.