Questões:
3. (30 pts) Considere os vetores u=(3,1,0) e v=(3,0,1).
(a) (20 pts) Determine um vetor unitário w sabendo que w é ortogonal a u e v e que forma um ângulo agudo com k.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u=(3,1,0) e v=(3,0,1) e pede um vetor unitário w ortogonal a ambos e que forme ângulo agudo com k=(0,0,1). Para isso vamos usar produto vetorial para achar um vetor perpendicular a u e v, depois corrigir o sentido para que o produto escalar com k seja positivo e, por fim, normalizar.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial utimesv. Usando a regra de Sarrus ou o determinante, temos
utimesv = i & j & k 3 & 1 & 0 3 & 0 & 1 = i(1cdot1-0cdot0)-j(3cdot1-0cdot3)+k(3cdot0-1cdot3) =(1,,-3,,-3)

Passo 3

Verificamos o sinal do produto escalar desse vetor com k=(0,0,1):
(1,-3,-3)cdot(0,0,1) = -3 < 0,
ou seja, o ângulo é obtuso. Para torná-lo agudo, invertemos o sentido do vetor:
n = -(utimesv) = (-1,,3,,3),
agora
ncdotk = 3 > 0

Passo 4

Calculamos a norma de n=(-1,3,3):
|n| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 3^2 = raiz1+9+9 = raiz19
O vetor unitário é
w = n|n| = 1raiz19,(-1,,3,,3)

Resposta

w = 1raiz19,(-1,,3,,3)

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