As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Suponha que P seja um plano que passa por (0,0,0) e R seja uma reta que passa por (0,0,0). O menor espaço vetorial contendo tanto P quanto R é ou ou .

Passo 1

O enunciado pede para identificar o menor subespaço vetorial que contém simultaneamente um plano P e uma reta R, ambos passando pela origem em R^3. O conteúdo envolvido é a noção de span (geração de um espaço por combinações lineares) e como a dimensão desse span depende da posição relativa de P e R.

Passo 2

Por definição, o menor subespaço vetorial que contém P e R é
spanl(Pcup Rr),
isto é, o conjunto de todas as combinações lineares de vetores que pertencem a P ou a R.

Passo 3

Se Rsubset P, então todo vetor de R já está em P. Nesse caso,
spanl(Pcup Rr)=P,
pois não há nenhuma direção nova além das que já existem em P.

Passo 4

Se Rnotsubset P, então existe em R um vetor que não está em P, fornecendo uma terceira direção independente das duas de P. Assim,
diml(span(Pcup R)r)=3 Longrightarrow spanl(Pcup Rr)=R^3

Resposta

P ou R^3

Exercícios relacionados