As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Suponha que
seja um plano que passa por
e
seja uma reta que passa por
. O menor espaço vetorial contendo tanto
quanto
é ou
ou
.
Suponha que
Passo 1
O enunciado pede para identificar o menor subespaço vetorial que contém simultaneamente um plano
e uma reta
, ambos passando pela origem em
. O conteúdo envolvido é a noção de span (geração de um espaço por combinações lineares) e como a dimensão desse span depende da posição relativa de
e
.
Passo 2
Por definição, o menor subespaço vetorial que contém
e
é
isto é, o conjunto de todas as combinações lineares de vetores que pertencem a
ou a
.
Passo 3
Se
, então todo vetor de
já está em
. Nesse caso,
pois não há nenhuma direção nova além das que já existem em
.
Passo 4
Se
, então existe em
um vetor que não está em
, fornecendo uma terceira direção independente das duas de
. Assim,