As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Mostre que o conjunto de matrizes invertíveis em M não é um subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = ,Ain M mid A é invertível éí
não é um subespaço de M.
Lembrando que, para ser subespaço, S deve satisfazer em particular:
  1. fechamento em relação à soma, ou seja, se A,Bin S então A+Bin S;
  2. fechamento em relação à multiplicação escalar, ou seja, se c é escalar e Ain S então cAin S.

Passo 2

Vamos verificar o fechamento em relação à soma. Considere
A = In e B = -In,
onde In é a matriz identidade em M.
Claramente A e B são invertíveis (suas inversas são In e -In, respectivamente).
Porém
A + B = In + (-In) = 0ntimes n,
e a matriz zero 0ntimes n não é invertível.
Logo, A,Bin S mas A+Bnotin S.
Isso mostra que S não é fechado sob adição.

Passo 3

Para reforçar, também falha o fechamento em relação à multiplicação escalar. Sejam Ain S (invertível) e c=0.
Então
0cdot A = 0ntimes n,
que novamente não é invertível.
Logo S não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

O conjunto das matrizes invertíveis não é subespaço de M porque falha tanto o fechamento sob soma (por exemplo In + (-In)=0notin S) quanto o fechamento sob multiplicação escalar (por exemplo 0cdot A=0notin S).

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