As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Mostre que o conjunto de matrizes invertíveis em
não é um subespaço.
Mostre que o conjunto de matrizes invertíveis em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
não é um subespaço de
.
Lembrando que, para ser subespaço, deve satisfazer em particular:
Lembrando que, para ser subespaço,
- fechamento em relação à soma, ou seja, se
então ; - fechamento em relação à multiplicação escalar, ou seja, se
é escalar e então .
Passo 2
Vamos verificar o fechamento em relação à soma. Considere
onde
é a matriz identidade em
.
Claramente e
são invertíveis (suas inversas são
e
, respectivamente).
Porém
Claramente
Porém
e a matriz zero
não é invertível.
Logo, mas
.
Isso mostra que não é fechado sob adição.
Logo,
Isso mostra que
Passo 3
Para reforçar, também falha o fechamento em relação à multiplicação escalar. Sejam
(invertível) e
.
Então
Então
que novamente não é invertível.
Logo não é fechado sob multiplicação por escalares.
Logo
Resposta
O conjunto das matrizes invertíveis não é subespaço de
porque falha tanto o fechamento sob soma (por exemplo
) quanto o fechamento sob multiplicação escalar (por exemplo
).