As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Mostre que o conjunto de matrizes singulares em M não é um subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = ,Ain Mn(R) mid A é singularé
não é subespaço vetorial de Mn(R).
Para isso basta ver que um dos dois requisitos falha: ou não é fechado sob soma ou não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro a multiplicação por escalar: seja Ain S singular, logo det(A)=0. Para qualquer escalar cin R temos
det(cA) = c^n det(A) = c^n cdot 0 = 0,
logo cA também é singular e pertence a S. Portanto S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 3

Agora testamos a soma. No caso n=2, consideremos
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, B = 0 & 0 [6pt] 0 & 1
Ambas têm determinante zero, então A,Bin S. Mas
A + B = 1 & 0 [6pt] 0 & 0 + 0 & 0 [6pt] 0 & 1 = 1 & 0 [6pt] 0 & 1,
e
det(A+B) = det!1 & 0 [3pt] 0 & 1 = 1 neq 0
Logo A+B é invertível e não pertence a S. Assim S não é fechado sob adição.]

Resposta

O conjunto das matrizes singulares não é subespaço porque falha na clausura sob soma: há A,B singulares cuja soma é invertível.

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