As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Mostre que o conjunto de matrizes singulares em
não é um subespaço.
Mostre que o conjunto de matrizes singulares em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
não é subespaço vetorial de .
Para isso basta ver que um dos dois requisitos falha: ou não é fechado sob soma ou não é fechado sob multiplicação escalar.
não é subespaço vetorial de
Para isso basta ver que um dos dois requisitos falha: ou não é fechado sob soma ou não é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro a multiplicação por escalar: seja
singular, logo
. Para qualquer escalar
temos
logo
também é singular e pertence a
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 3
Agora testamos a soma. No caso
, consideremos
Ambas têm determinante zero, então
. Mas
e
Logo
é invertível e não pertence a
. Assim
não é fechado sob adição.]
Resposta
O conjunto das matrizes singulares não é subespaço porque falha na clausura sob soma: há
singulares cuja soma é invertível.