As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes simétricas em M(com A^T=A) formam um subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
AinMmid A^T=A
das matrizes simétricas é subespaço de M. Para isso precisamos checar duas propriedades:
  1. Fechamento sob soma: se A e B são simétricas, então A+B deve ser simétrica.
  2. Fechamento sob multiplicação escalar: se A é simétrica e c é escalar, então c,A deve ser simétrica.

Passo 2

Sejam A e B matrizes simétricas, isto é,
A^T = A e B^T = B
Então
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B,
logo A + B é simétrica.

Passo 3

Seja A simétrica e c escalar. Então
(c,A)^T = c,A^T = c,A,
logo c,A também é simétrica.

Passo 4

Além de fechamentos, notamos que a matriz zero 0 satisfaz 0^T=0, garantindo que o subespaço não fique vazio. Com todas as propriedades verificadas, concluímos que o conjunto forma subespaço de M.

Resposta

Verdadeiro.

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