As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes simétricas em
formam um subespaço.
Verdadeiro ou falso? Justifique.
As matrizes simétricas em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das matrizes simétricas é subespaço de . Para isso precisamos checar duas propriedades:
das matrizes simétricas é subespaço de
- Fechamento sob soma: se
e são simétricas, então deve ser simétrica. - Fechamento sob multiplicação escalar: se
é simétrica e é escalar, então deve ser simétrica.
Passo 2
Sejam
e
matrizes simétricas, isto é,
Então
logo
é simétrica.
Passo 3
Seja
simétrica e
escalar. Então
logo
também é simétrica.
Passo 4
Além de fechamentos, notamos que a matriz zero
satisfaz
, garantindo que o subespaço não fique vazio. Com todas as propriedades verificadas, concluímos que o conjunto forma subespaço de
.
Resposta
Verdadeiro.