Nas questões 20 a 36, calcule a derivada da função apresentada.
Passo 1
A questão pede a derivada de f(x)=ln(tan(5x+3)). O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos funções compostas: logaritmo natural, tangente e uma função linear.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parte interna da ln. Defina u(x)=tan(5x+3). Como temos f(x)=ln(u(x)), aplicamos a regra: f’(x)=u’(x)/u(x).
Passo 3
Agora derivamos u(x)=tan(v(x)), em que v(x)=5x+3. Para isso, usamos que a derivada de tan(v) é sec^2(v)·v’. Logo, u’(x)=sec^2(v(x))·v’(x).
Passo 4
Em seguida, derivamos v(x)=5x+3. Como é uma função linear, temos v’(x)=5.
Passo 5
Substituindo v(x) e v’(x) em u’(x) obtemos u’(x)=sec^2(5x+3)·5.
Passo 6
Por fim, voltamos à expressão de f’(x)=u’(x)/u(x). Então
Se quiser simplificar usando
, dá