Nas questões 20 a 36, calcule a derivada da função apresentada.
f(x)=ln (tg(5 x+3))

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x)=ln(tan(5x+3)). O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos funções compostas: logaritmo natural, tangente e uma função linear.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte interna da ln. Defina u(x)=tan(5x+3). Como temos f(x)=ln(u(x)), aplicamos a regra: f’(x)=u’(x)/u(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=tan(v(x)), em que v(x)=5x+3. Para isso, usamos que a derivada de tan(v) é sec^2(v)·v’. Logo, u’(x)=sec^2(v(x))·v’(x).

Passo 4

Em seguida, derivamos v(x)=5x+3. Como é uma função linear, temos v’(x)=5.

Passo 5

Substituindo v(x) e v’(x) em u’(x) obtemos u’(x)=sec^2(5x+3)·5.

Passo 6

Por fim, voltamos à expressão de f’(x)=u’(x)/u(x). Então
f'(x)=5,sec^2(5x+3)tan(5x+3)
Se quiser simplificar usando sec^2/tan=1/(sincdotcos), dá
f'(x)=5sin(5x+3),cos(5x+3)

Resposta

f'(x)=5,sec^2(5x+3)tan(5x+3)

Exercícios relacionados