Sejam f, g e h funções deriváveis. Mostre que
(f(x) cdot g(x) cdot h(x))^prime=f^prime(x) cdot g(x) cdot h(x)+f(x) cdot g^prime(x) cdot h(x)+f(x) cdot g(x) cdot h^prime(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a derivada do produto de três funções deriváveis f, g e h, ou seja,
(f(x),g(x),h(x))' = ?
O conteúdo principal aqui é a regra do produto de derivadas.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
u(x) = f(x),g(x)
Como f e g são deriváveis, aplicando a regra do produto obtemos
u'(x) = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)

Passo 3

Agora consideramos o produto u(x),h(x) = f(x),g(x),h(x). Usando novamente a regra do produto para u e h, temos
l(u(x),h(x)r)' = u'(x),h(x) + u(x),h'(x)

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão anterior:
(f(x),g(x),h(x))' = l[f'(x),g(x) + f(x),g'(x)r],h(x) + f(x),g(x),h'(x)
Distribuindo os termos,
(f(x),g(x),h(x))' = f'(x),g(x),h(x) + f(x),g'(x),h(x) + f(x),g(x),h'(x)

Resposta

(f(x),g(x),h(x))' = f'(x),g(x),h(x) + f(x),g'(x),h(x) + f(x),g(x),h'(x)

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