Seja A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Quantas funções injetivas de A em B existem?

Passo 1

O enunciado diz que temos dois conjuntos A e B com \lvert A\rvert=3 e \lvert B\rvert=5 e pede o número de funções injetivas de A em B. O conteúdo envolve contagem de injecções, usando o princípio multiplicativo e a fórmula de arranjos.

Passo 2

Para definir uma função injetiva de A em B, atribuímos a cada um dos 3 elementos de A uma imagem distinta em B. Pelo princípio multiplicativo:
  • o primeiro elemento de A tem 5 opções de imagem em B;
  • o segundo tem 4 opções (excluída a já escolhida);
  • o terceiro tem 3 opções.
Logo, o total de funções injetivas é
5 \times 4 \times 3.
Esse mesmo resultado é dado pela fórmula de arranjos:
\mathrm P(5,3) \;=\;\frac{5!}{(5-3)!}\;=\;\frac{5!}{2!}.

Passo 3

Bast a calcular:
5 \times 4 \times 3 = 60 \quad\text{ou}\quad \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.

Resposta

60

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