Nas questões de 1 a 5, assinale \mathbf{V} se a afirmação é verdadeira e \mathbf{F} se for falsa:
Questão 3 - Propriedades de determinantes
a) O determinante da matriz identidade é sempre 1. ( )
b) Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. ( )
c) O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes. ( )
d) O determinante de uma matriz diagonal é a soma dos elementos da diagonal. ( )
e) Se \operatorname{det}(A)=0, então o sistema linear associado pode não ter solução única. ( )

Passo 1

O enunciado pede para avaliar cinco afirmações sobre determinantes de matrizes e sua relação com sistemas lineares. O conteúdo principal envolve propriedades de determinantes (matriz identidade, troca de linhas, produto de matrizes, forma diagonal) e a implicação de \det(A)=0 na unicidade da solução de Ax=b.

Passo 2

A identidade I_n é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são todos iguais a 1. Como o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal, temos
\det(I_n)=1\cdot1\cdots1=1.
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Uma operação elementar de trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1. Dessa forma, sempre que trocamos duas linhas, o sinal de \det se inverte, fazendo a afirmação (b) verdadeira.

Passo 4

Uma propriedade fundamental é que para matrizes quadradas compatíveis em tamanho vale
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Portanto, a afirmação (c) também é verdadeira.

Passo 5

Para uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal e não a soma. Ou seja, se
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n),
então
\det(D)=d_1\cdot d_2\cdots d_n,
não d_1+d_2+\cdots+d_n. Assim, a afirmação (d) é falsa.

Passo 6

Quando \det(A)=0, a matriz A é singular e o sistema Ax=b ou não tem solução ou tem infinitas soluções, mas nunca solução única. Logo, “pode não ter solução única” é correto, e a afirmação (e) é verdadeira.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) F
e) V

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