Nas questões de 1 a 5, assinale
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa:
Questão 3 - Propriedades de determinantes
a) O determinante da matriz identidade é sempre 1. ( )
b) Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. ( )
c) O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes. ( )
d) O determinante de uma matriz diagonal é a soma dos elementos da diagonal. ( )
e) Se
, então o sistema linear associado pode não ter solução única. ( )
Questão 3 - Propriedades de determinantes
a) O determinante da matriz identidade é sempre 1. ( )
b) Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. ( )
c) O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes. ( )
d) O determinante de uma matriz diagonal é a soma dos elementos da diagonal. ( )
e) Se
Passo 1
O enunciado pede para avaliar cinco afirmações sobre determinantes de matrizes e sua relação com sistemas lineares. O conteúdo principal envolve propriedades de determinantes (matriz identidade, troca de linhas, produto de matrizes, forma diagonal) e a implicação de
na unicidade da solução de
.
Passo 2
A identidade
é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são todos iguais a
. Como o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal, temos
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Uma operação elementar de trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por
. Dessa forma, sempre que trocamos duas linhas, o sinal de
se inverte, fazendo a afirmação (b) verdadeira.
Passo 4
Uma propriedade fundamental é que para matrizes quadradas compatíveis em tamanho vale
Portanto, a afirmação (c) também é verdadeira.
Passo 5
Para uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal e não a soma. Ou seja, se
então
não
. Assim, a afirmação (d) é falsa.
Passo 6
Quando
, a matriz
é singular e o sistema
ou não tem solução ou tem infinitas soluções, mas nunca solução única. Logo, “pode não ter solução única” é correto, e a afirmação (e) é verdadeira.
Resposta
a) V
b) V
c) V
d) F
e) V
b) V
c) V
d) F
e) V