Nas questões de 1 a 5 , assinale \mathbf{V} se a afirmação é verdadeira e \mathbf{F} se for falsa)
Questão 3 - Propriedades de determinantes
a) O determinante da matriz identidade é sempre 1. ( )
b) Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. ( )
c) O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes. ( )
d) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. ( )
e) Se \operatorname{det}(A)=0, então o sistema linear associado pode não ter solução única. ( )

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos cada afirmação sobre determinantes como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo é propriedades de determinantes de matrizes quadradas; vamos usar definições básicas e teoremas sobre determinantes para justificar cada resposta.

Passo 2

Afirmação (a): “O determinante da matriz identidade é sempre 1.”
Por definição, a matriz identidade I_n tem determinante
\det(I_n)=1.
Isso vale para qualquer ordem n. Portanto, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante.”
Uma das propriedades elementares é que cada troca de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada faz
\det(B) = -\,\det(A)
se B é obtida de A trocando duas linhas. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes.”
O teorema diz que, para matrizes quadradas A e B da mesma ordem,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Portanto, (c) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal.”
Se D é uma matriz diagonal com entradas diagonais d_{11},d_{22},\dots,d_{nn}, então
\det(D)=d_{11}\,d_{22}\cdots d_{nn}.
Logo, (d) é verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “Se \det(A)=0, então o sistema linear associado pode não ter solução única.”
Quando \det(A)=0, a matriz A é singular, o que implica que o sistema A x=b ou não tem solução ou tem infinitas soluções, mas jamais uma única solução. Assim, (e) é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V

Exercícios relacionados