Nas questões de 1 a 5 , assinale
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa)
Questão 3 - Propriedades de determinantes
a) O determinante da matriz identidade é sempre 1. ( )
b) Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. ( )
c) O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes. ( )
d) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. ( )
e) Se
, então o sistema linear associado pode não ter solução única. ( )
Questão 3 - Propriedades de determinantes
a) O determinante da matriz identidade é sempre 1. ( )
b) Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. ( )
c) O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes. ( )
d) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. ( )
e) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cada afirmação sobre determinantes como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo é propriedades de determinantes de matrizes quadradas; vamos usar definições básicas e teoremas sobre determinantes para justificar cada resposta.
Passo 2
Afirmação (a): “O determinante da matriz identidade é sempre 1.”
Por definição, a matriz identidade tem determinante
Por definição, a matriz identidade
Isso vale para qualquer ordem
. Portanto, (a) é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante.”
Uma das propriedades elementares é que cada troca de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada faz
Uma das propriedades elementares é que cada troca de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada faz
se
é obtida de
trocando duas linhas. Logo, (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes.”
O teorema diz que, para matrizes quadradas e
da mesma ordem,
O teorema diz que, para matrizes quadradas
Portanto, (c) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal.”
Se é uma matriz diagonal com entradas diagonais
, então
Se
Logo, (d) é verdadeira.
Passo 6
Afirmação (e): “Se
, então o sistema linear associado pode não ter solução única.”
Quando , a matriz
é singular, o que implica que o sistema
ou não tem solução ou tem infinitas soluções, mas jamais uma única solução. Assim, (e) é verdadeira.
Quando
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V