Resolva o PVI
l d yd t=y(100-y) y(0)=1

Passo 1

O enunciado define o problema de valor inicial
dydt=y(100-y), y(0)=1,
que é uma equação diferencial logística. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e, em seguida, aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy(100-y) = dt
Isso isola y do lado esquerdo e t do lado direito, permitindo integrar ambos os lados.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de 1y(100-y). Procuramos constantes A e B tais que
1y(100-y) = Ay + B100-y
Temos
1 = A(100-y) + B,y = 100A + (B-A)y,
logo 100A=1 e B-A=0, o que dá A=B=tfrac1100. Assim,
1y(100-y) = 1100l(1y + 1100-yr)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y(100-y),dy = integral dt Longrightarrow 1100integrall(1y+1100-yr)dy = t + C
Calculando as integrais:
1100l(ln|y| - ln|100-y|r) = t + C
Multiplicando por 100 e exponenciando, obtemos
lny100-y = 100t + C' Longrightarrow y100-y = K e^100t,
onde K=e^C'.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1. Em t=0 a expressão vira
1100-1 = K e^0 Longrightarrow K = 199
Substituindo em y100-y = 199e^100t e resolvendo para y, chegamos a
y(t) = 100cdot199e^100t1 + 199e^100t = 1001 + 99e^-100t

Resposta

y(t) = 1001 + 99e^-100t

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