Nas questões de 3 até 15, calcule, se existir, lim x infty f(x), sendo f(x) a função informada.
raiz7 x^2+3 x+8-raiz7 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyl(raiz7x^2+3x+8-raiz7,xr)
O conteúdo aqui é limite de tipo infty-infty, e vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pela conjugada) para transformá-lo num quociente que dê um valor finito.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por
raiz7x^2+3x+8+raiz7,x. Assim,
raiz7x^2+3x+8-raiz7,x =l(raiz7x^2+3x+8-raiz7,xr)l(raiz7x^2+3x+8+raiz7,xr) raiz7x^2+3x+8+raiz7,x

Passo 3

No numerador temos a diferença de quadrados:
(raiz7x^2+3x+8)^2-(raiz7,x)^2 =7x^2+3x+8-7x^2=3x+8
Logo
raiz7x^2+3x+8-raiz7,x =3x+8raiz7x^2+3x+8+raiz7,x

Passo 4

Fatoramos x na raiz para facilitar o limite:
raiz7x^2+3x+8 = xraiz7+3x+8x^2
e portanto o denominador fica
xl(raiz7+tfrac3x+tfrac8x^2+raiz7r)
A expressão toda é
3x+8xl(raiz7+3x+8x^2+raiz7r) =3+8xraiz7+3x+8x^2+raiz7

Passo 5

Agora fazemos xtoinfty. Temos tfrac8xto0 e raiz7+tfrac3x+tfrac8x^2toraiz7. Logo
limxtoinfty 3+tfrac8xraiz7+tfrac3x+tfrac8x^2+raiz7 =3raiz7+raiz7 =32raiz7

Resposta

limxtoinftyl(raiz7x^2+3x+8-raiz7,xr) =32raiz7

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