As questões de números 10 a 16 referem-se à função f definida por f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
A primeira derivada da função f é:
a) \frac{-x^{2}+2 x}{x^{4}}
b) \frac{1}{2 x}
c) \frac{3 x^{2}-2 x}{x^{4}}
d) \frac{-x^{2}+2 x}{x^{2}}
е) \frac{x^{2}-2 x}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}.
O conteúdo principal aqui é derivação de potências e soma de funções: podemos reescrever f como soma de potências de x e usar a regra do poder para derivar cada termo.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}=x\cdot x^{-2}-1\cdot x^{-2}=x^{-1}-x^{-2}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder em cada termo:
– Derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
– Derivada de -x^{-2} é -2)\cdot x^{-3}=2x^{-3}.
Logo,
f'(x)=-x^{-2}+2x^{-3}.

Passo 4

Colocamos sobre um denominador comum x^{3}:
f'(x)=\frac{-x+2}{x^{3}}.
Multiplicando numerador e denominador por x, obtemos
f'(x)=\frac{-x^{2}+2x}{x^{4}}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{-x^{2}+2x}{x^{4}}

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